题意：
给出一个多项式(f_1(x) = sum_{i=0}^na_ix^i)
对于任意(i>=2)，满足(f_i(x) = b_i(f_{i-1}(x))'+c_if_{i-1}(x))
要求得到(f_n(x))的各次项系数模(998244353)
(nle 10^5, 0leq a_i,b_i,c_i < 998244353)
题解：
考虑把(f_1,f_2,cdots,f_n)写成(n)列，其中(f_{ij})表示(f_i)的(j)次项的系数：
其中(f_{1,i}=a_i)
考虑类似(dp)的状态转移，那么可以发现， 对于(f_{ij})存在两种转移：
其中箭头表示乘自身然后加到右边
那么如果把转移看作边，可以发现每个状态（除了边界）向右连了一条边，向右上连了一条边
我们来考虑(f_{1,i})对(f_{n,j})的贡献，其中(ige j)，可以发现(dp)的转移其实就是一条条从(f_{1,i})到(f_{n,j})的路径，那么显然可以把所有路径单独分开来看，那么(f_{1,i})对(f_{n,j})的贡献为：(f_{1,i}cdot sum (prod operatorname{pathvalue}))，也就是从(f_{1,i})到(f_{n,j})的所有可行路径的边权乘积的和
先不考虑第二类转移中(jcdot b_{i+1})的(j)，那么对于任何转移(f_{1,i} ightarrow f_{n,j})，其实就是对于每个(2le kle n)，选择(b_k)或者(c_k)，其中(b_k)选择(i-j)个，(c_k)选择(n-1-(i-j))个，乘起来然后再把所有方案加起来
我们令选(x)个(b_k)和(n-1-x)个(c_k)的所有方案的和为(F(x))，那么(F(x))是可以用分治+(FFT)来得到
令(F(l,r,x))表示在区间([l,r))中选(x)个(b_k)的所有方案的和，那么可以得到(F(l,r,x)=sum_{i+j=x}F(l,mid,i)cdot F(mid,r,j))，其中(mid = lfloor frac{l+r}2 floor)
再算上之前没考虑的(j)的贡献乘积，可以得到(f_{n,j}=sum_{i-k=j}F(k)cdot f_{1,i}cdot frac{(i-1)!}{(j-1)!})
考虑把数组反向，也就是(f_{i,j})和(f_{i,n-j})互换，那么就可以得到(f_{n,j} = sum_{i+k=j}F(k)cdot f_{1,i}cdot frac{j!}{i!} = j!sum_{i+k=j}F(k)cdot frac{f_{1,i}}{i!})
那么就可以再做一次(FFT)就能得到答案了
view code
//#pragma GCC optimize("O3")
//#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
function<void(void)> ____ = [](){ios_base::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);};
const int MOD = 998244353;
const int FFTN = 1<<19;
const int MAXN = 2e5+7;
#define poly vector<int>
typedef unsigned long long int ull;
int ksm(int a, int b){
int ret = 1;
while(b){
if(b&1) ret = 1ll * ret * a % MOD;
b >>= 1;
a = 1ll * a * a % MOD;
}
return ret;
}
namespace FFT{
int w[FFTN+5],W[FFTN+5],R[FFTN+5];
void FFTinit(){
W[0]=1;
W[1]=ksm(3,(MOD-1)/FFTN);
for(int i = 2; i <= FFTN; i++) W[i]=1ll*W[i-1]*W[1]%MOD;
}
int FFTinit(int n){
int L=1;
for (;L<=n;L<<=1);
for(int i = 0; i <= L - 1; i++) R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)?(L>>1):0);
return L;
}
int A[FFTN+5],B[FFTN+5];
ull p[FFTN+5];
void DFT(int *a,int n){
for(int i = 0; i < n; i++) p[R[i]]=a[i];
for(int d = 1; d < n; d <<= 1){
int len=FFTN/(d<<1);
for(int i = 0, j = 0; i < d; i++, j += len) w[i]=W[j];
for(int i = 0; i < n; i += (d<<1))
for (int j = 0; j < d; j++){
int y=p[i+j+d]*w[j]%MOD;
p[i+j+d]=p[i+j]+MOD-y;
p[i+j]+=y;
}
if (d==1<<15)
for(int i = 0; i < n; i++) p[i]%=MOD;
}
for(int i = 0; i < n; i++) a[i]=p[i]%MOD;
}
void IDFT(int *a,int n){
for(int i = 0; i < n; i++) p[R[i]]=a[i];
for (int d=1;d<n;d<<=1){
int len=FFTN/(d<<1);
for (int i=0,j=FFTN;i<d;i++,j-=len) w[i]=W[j];
for (int i=0;i<n;i+=(d<<1))
for (int j=0;j<d;j++){
int y=p[i+j+d]*w[j]%MOD;
p[i+j+d]=p[i+j]+MOD-y;
p[i+j]+=y;
}
if (d==1<<15)
for(int i = 0; i < n; i++) p[i]%=MOD;
}
int val=ksm(n,MOD-2);
for(int i = 0; i < n; i++) a[i]=p[i]*val%MOD;
}
poly Mul(const poly &a,const poly &b){
int sza=a.size()-1,szb=b.size()-1;
poly ans(sza+szb+1);
if (sza<=30||szb<=30){
for(int i = 0; i <= sza; i++) for(int j = 0; j <= szb; j++)
ans[i+j]=(ans[i+j]+1ll*a[i]*b[j])%MOD;
return ans;
}
int L=FFTinit(sza+szb);
for(int i = 0; i < L; i++) A[i]=(i<=sza?a[i]:0);
for(int i = 0; i < L; i++) B[i]=(i<=szb?b[i]:0);
DFT(A,L); DFT(B,L);
for(int i = 0; i < L; i++) A[i]=1ll*A[i]*B[i]%MOD;
IDFT(A,L);
for(int i = 0; i <= sza + szb; i++) ans[i]=A[i];
return ans;
}
}
int fac[MAXN], rfac[MAXN], inv[MAXN];
poly divide(int l, int r, vector<int> &B, vector<int> &C){ return l + 1 == r ? poly({C[l],B[l]}) : FFT::Mul(divide(l,(l+r)>>1,B,C), divide((l+r)>>1,r,B,C)); }
void solve(){
int n; scanf("%d",&n);
vector<int> A(n+1), B(n-1), C(n-1);
for(int &x : A) scanf("%d",&x);
for(int &x : B) scanf("%d",&x);
for(int &x : C) scanf("%d",&x);
poly f = divide(0,n-1,B,C);
reverse(A.begin(),A.end());
for(int i = 0; i <= n; i++) A[i] = 1ll * A[i] * fac[n-i] % MOD;
poly W = FFT::Mul(A,f);
for(int i = 0; i <= n; i++) W[i] = 1ll * W[i] * rfac[n-i] % MOD;
for(int i = n; i >= 0; i--) printf("%d%c",W[i],"
"[!i]);
}
int main(){
fac[0] = rfac[0] = inv[1] = 1;
for(int i = 1; i < MAXN; i++) fac[i] = 1ll * fac[i-1] * i % MOD;
for(int i = 2; i < MAXN; i++) inv[i] = 1ll * (MOD - MOD / i) * inv[MOD % i] % MOD;
for(int i = 1; i < MAXN; i++) rfac[i] = 1ll * rfac[i-1] * inv[i] % MOD;
FFT::FFTinit();
int tt; for(scanf("%d",&tt); tt--; solve());
return 0;
}