RSA

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 RSA算法原理（二）

注意：

RSA 加密或签名后的结果是不可读的二进制，使用时经常会转为 BASE64 码再传输。
RSA 加密时，对要加密数据的大小有限制，最大不大于密钥长度。例如在使用 1024 bit 的密钥时（genrsa -out rsa_private_key.pem 1024），最大可以加密 1024/8=128 Bytes 的数据。数据大于 128 Bytes 时，需要对数据进行分组加密（如果数据超限，加解密时会失败，openssl 函数会返回 false），分组加密后的加密串拼接成一个字符串后发送给客户端。
为了保证每次加密的结果都不同，RSA 加密时会在待加密数据后拼接一个随机字符串，再进行加密。不同的填充方式 Padding 表示这个字符串的不同长度，在对超限数据进行分组后，会按照这个 Padding 指定的长度填入随机字符串。例如如果 Padding 填充方式使用默认的 OPENSSL_PKCS1_PADDING（需要占用 11 个字节用于填充），那么明文长度最多只能就是 128-11=117 Bytes。
一般默认使用 OPENSSL_PKCS1_PADDING。PHP 支持的 Padding 有 OPENSSL_PKCS1_PADDING、OPENSSL_SSLV23_PADDING、OPENSSL_PKCS1_OAEP_PADDING 和 OPENSSL_NO_PADDING。
接收方解密时也需要分组。将加密后的原始二进制数据（对于经过 BASE64 的数据，需要解码），每 128 Bytes 分为一组，然后再进行解密。解密后，根据 Padding 的长度丢弃随机字符串，把得到的原字符串拼接起来，就得到原始报文。

原理

RSA 算法的可靠性基础：对极大整数做因数分解是很困难的。

RSA 是非对称算法，加解密使用不同的密钥。

两个密钥都可以用于加密，解密时需要使用另一个密钥。但是，通常用公钥加密私钥解密，因为公钥是近乎完全公开的，对于私钥加密的数据，有太多的人可以解密了。理论上 A 和 B 之间要通过 RSA 实现保密通信，需要 A 和 B 各自生成一组密钥，同时保管好自己的私钥；用对方的公钥加密要发送的消息，用自己的私钥解密对方发送过来的消息。

在签名的场景下，用私钥签名，公钥验签。

RSA 比 DES 等对称算法慢得多。一般在实际数据传输时，用 RSA 来加密比较短的对称密码，双方交换密码后再使用 DES 等对称算法传输数据。

互质关系

如果两个正整数，除了 1 以外没有其他公因子，就称这两个数是互质关系。比如 3 和 5，13 和 31 等。

欧拉函数

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欧拉函数：求小于 ${displaystyle N}$ 的正整数中与 ${displaystyle N}$ 互质的数的数目。

例如，对应 8，与 8 互质的数有 1，3，5，7，所以 ${displaystyle varphi (N)}$ = 4。

RSA 算法使用了欧拉函数的一个特例：如果 ${displaystyle N}$ 可以分解成两个互质的整数之积：
${displaystyle N=pq}$
则
${displaystyle varphi (N)=varphi (p)varphi (q)=(p-1)(q-1)}$
比如， ${displaystyle varphi (35947)=varphi (103)varphi (349)=(102)(348)=35496}$ 。

模反元素

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如果两个正整数 $a$ 和 $n$ 互质，那么一定可以找到整数 $b$ ，使得 $ab-1$ 被 $n$ 整除：
$abequiv 1{pmod {n}}$
这时， $b$ 就叫做 $a$ 的"模反元素"。

欧拉定理证明当 ${displaystyle a,n}$ 为两个互素的正整数时，则有 ${displaystyle a^{varphi (n)}equiv 1{pmod {n}}}$ ，其中 ${displaystyle varphi (n)}$ 为欧拉函数（小于等于 ${displaystyle n}$ 且与 ${displaystyle n}$ 互素的正整数个数）。

上述结果可分解为 ${displaystyle a^{varphi (n)}=acdot a^{varphi (n)-1}equiv 1{pmod {n}}}$ ，其中 ${displaystyle a^{varphi (n)-1}}$ 即为 ${displaystyle a}$ 关于模 ${displaystyle n}$ 之模反元素。

举例

求整数 3 对同余 11 的模逆元素 x,
${displaystyle xequiv 3^{-1}{pmod {11}}}$
上述方程可变换为
${displaystyle 3xequiv 1{pmod {11}}}$
在整数范围 ${displaystyle mathbb {Z} _{11}}$ 内，可以找到满足该同余等式的 $x$ 值为4，如下式所示
${displaystyle 3(4)=12equiv 1{pmod {11}}}$
并且，在整数范围 ${displaystyle mathbb {Z} _{11}}$ 内不存在其他满足此同余等式的值。

故，整数3对同余11的模逆元素为4。

生成公钥和私钥

随意选择两个大的质数 ${displaystyle p}$ 和 ${displaystyle q}$ ， ${displaystyle p}$ 不等于 ${displaystyle q}$ ，计算 ${displaystyle N=pq}$ 。
根据欧拉函数，求得 ${displaystyle r=varphi (N)=varphi (p)varphi (q)=(p-1)(q-1)}$
选择一个小于 ${displaystyle r}$ 的整数 ${displaystyle e}$ ，使 ${displaystyle e}$ 与 ${displaystyle r}$ 互质。并求得 ${displaystyle e}$ 关于 ${displaystyle r}$ 的模反元素，命名为 ${displaystyle d}$ （求 ${displaystyle d}$ 令 ${displaystyle edequiv 1{pmod {r}}} {displaystyle edequiv 1{pmod {r}}}$ ）。（模反元素存在，当且仅当 ${displaystyle e}$ 与 ${displaystyle r}$ 互质）
将 ${displaystyle p}$ 和 ${displaystyle q}$ 的记录销毁。

${displaystyle (N,e)}$ 是公钥， ${displaystyle (N,d)}$ 是私钥。公钥发送给所有的通信对象（对服务器来说就是所有的客户端），私钥则必须保管好，防止泄露。

加密消息

假设客户端要向服务器发送消息 ${displaystyle m}$ ，服务器的公钥是 ${displaystyle N}$ 和 ${displaystyle e}$ 。客户端将消息 ${displaystyle m}$ 转换为一个小于 ${displaystyle N}$ 的非负整数 ${displaystyle n}$ ，比如可以将每一个字转换为这个字的 Unicode 码，然后将这些数字连在一起组成一个数字。假如信息非常长的话，可以将这个信息分为几段，然后将每一段转换为 ${displaystyle n}$ 。用下面这个公式他可以将 ${displaystyle n}$ 加密为 ${displaystyle c}$ ：
${displaystyle cequiv n^{e}{pmod {N}}}$
计算 ${displaystyle c}$ 并不复杂。客户端算出 ${displaystyle c}$ 后就可以将它传递给服务器。

解密消息

得到消息 ${displaystyle c}$ 后，可以利用密钥 ${displaystyle d}$ 来解码。可以用以下这个公式来将 ${displaystyle c}$ 转换为 ${displaystyle n}$ ：
${displaystyle c^{d}equiv n (mathrm {mod} N)}$
得到 ${displaystyle n}$ 后，可以将原来的信息 ${displaystyle m}$ 重新复原。

解码的原理是：
${displaystyle c^{d}equiv n^{ecdot d} (mathrm {mod} N)}$
已知 ${displaystyle edequiv 1{pmod {r}}}$ ，即 ${displaystyle ed=1+hvarphi (N)}$ 。由欧拉定理得：

${displaystyle n^{ed}=n^{1+hvarphi (N)}=nleft(n^{varphi (N)} ight)^{h}equiv n(1)^{h}{pmod {N}}equiv n{pmod {N}}}$

签名消息

RSA 也可以用来为一个消息签名。

对消息字符串的散列值（Message digest，用 MD5、SHA256 等算法求得的长度较短且固定的字符串）使用 RSA 的私钥计算签名（实际上仍然是加密消息）后，得到一个签名字符串，将其附加在消息字符串的合适位置后，一并发送。接收方使用对应的公钥可以从签名字符串中解密出原来的散列值，同时对原始消息再计算一次散列值。二者相比较，假如两者相符的话，则认为发信人持有正确的私钥，并且这个消息在传播路径上没有被篡改过。

密钥长度

用户应使用 1024 位密钥，证书认证机构应用 2048 位或以上。

特点

RSA 之所以叫非对称算法，是因为加密和解密的密钥不一样。任何一个密钥都可以用来加密。

公钥和私钥

通过私钥可以轻松计算出公钥，反之不行。

随机选择两个不相等的质数 ${displaystyle p}$ 和 ${displaystyle q}$ ， ${displaystyle p}$ 不等于 ${displaystyle q}$ ，计算 ${displaystyle N=pq}$ 。
这里选择 103 和 349。 ${displaystyle N=pq}$ = 35947。 ${displaystyle N}$ 的长度就是密钥长度。35947 对应的二进制是 ‭1000110001101011‬，一共有 16 位，所以这个密钥就是 16 位。实际应用中 RSA 密钥一般是1024位。
计算 ${displaystyle N}$ 的欧拉函数 ${displaystyle varphi (N)}$ 。 ${displaystyle r=varphi (35947)=varphi (103)varphi (349)=(102)(348)=35496}$ 。
选择一个小于 ${displaystyle r}$ 的整数 ${displaystyle e}$ ，使 ${displaystyle e}$ 与 ${displaystyle r}$ 互质，这里取 ${displaystyle e=773}$ 。
求 ${displaystyle e}$ 关于 ${displaystyle r}$ 的模反元素，命名为 ${displaystyle d}$ （求 ${displaystyle d}$ 令 ${displaystyle edequiv 1{pmod {r}}} {displaystyle edequiv 1{pmod {r}}}$ ）。最终转为 773d-1=35496k 这个二元一次方程，求得一组解(d,k)=(45,1)。
将 ${displaystyle (N,e)}$ 封装成公钥， ${displaystyle (N,d)}$ 封装成私钥。所以公钥就是 (35496 ,773)，私钥就是（35496 , 45）。

加密和解密

用公钥加密时，私钥可以解密。反之亦然，私钥加密后的信息用公钥可以解密。

签名和验签

操作

如果是对接其他平台提供的标准接口，如果这个接口用到了 RSA 加密，则需要这个平台提供对应的公钥。

Linux 下通过 OpenSSL 生成 RSA 公钥和私钥

需要提前在 Linux 上安装 OpenSSL，默认生成在当前用户家目录下：

[root@VM_120_242_centos ~]# openssl 
OpenSSL> genrsa -out app_private_key.pem   1024  # 生成私钥
Generating RSA private key, 1024 bit long modulus
.++++++
........++++++
e is 65537 (0x10001)

OpenSSL> rsa -in app_private_key.pem -pubout -out app_public_key.pem  # 生成公钥
writing RSA key
OpenSSL> exit

对于 PHP 可以直接使用上面生成的原始私钥。但是 Java 需要将私钥转换成 PKCS8 格式，然后将生成的 PKCS8 格式的私钥去除头尾、换行和空格，作为私钥字符串填入代码中：

OpenSSL> pkcs8 -topk8 -inform PEM -in app_private_key.pem -outform PEM -nocrypt -out app_private_key_pkcs8.pem # 私钥转成 PKCS8 格式

查看生成的文件：

[root@VM_120_242_centos ~]# ll
总用量 1064
-rw-r--r-- 1 root root    887 6月  14 11:25 app_private_key.pem
-rw-r--r-- 1 root root    272 6月  14 11:25 app_public_key.pem

查看公钥：

转成 PKCS8 格式的公钥字符串为：

MIGfMA0GCSqGSIb3DQEBAQUAA4GNADCBiQKBgQC3//sR2tXw0wrC2DySx8vNGlqt3Y7ldU9+LBLI6e1KS5lfc5jlTGF7KBTSkCHBM3ouEHWqp1ZJ85iJe59aF5gIB2klBd6h4wrbbHA2XE1sq21ykja/Gqx7/IRia3zQfxGv/qEkyGOx+XALVoOlZqDwh76o2n1vP1D+tD3amHsK7QIDAQAB

查看私钥：