前言
由于三维空间刚体运动比较重要，后面有可能还会专门做一次总结，结合IMU位姿估计一起吧。本章内容还是好理解的所以不做过多的讨论。
旋转矩阵
旋转矩阵是一个行列式为1的正交矩阵，反之亦然，所以对于所有旋转矩阵，我们把他们放在一个集合里：
[SO(n)= {Rinmathbb{R}^{n imes n}|RR^T=I,det(R)=1 }
]
我们称这是一个特殊正交群，表示所有旋转矩阵组成的群，n=3表示3维。这里提前了解了一下群论，再后期会仔细的进行讲解。
- 性质:
由于是正交阵，所以对于旋转矩阵R有：(R^{-1}=R^T),可以减少大量的计算量
变换矩阵
变换矩阵也可以组成一个群：
[ SE(3)={T=egin{pmatrix}R&t\0^T&1 end{pmatrix}inmathbb{R^{4 imes4}}| Rin SO(3),tin mathbb{R^3} }
]
变换矩阵有着与旋转矩阵相似的性质：
[T^{-1}=egin{bmatrix}
R^T&-R^Tt\0^T&1
end{bmatrix}
]
旋转向量与Rodrigues 公式
任意旋转都可以由一个旋转轴与一个旋转角度来描述：( hetavec{n})
旋转向量方便描述，但是不方便计算，旋转矩阵就便于计算，任何一个向量左乘上旋转矩阵，都表示旋转后的向量。然后旋转向量和旋转矩阵可以通过Rodrigues 公式来转换：
旋转向量( o)旋转矩阵
[ R=cos heta I+(1-cos heta)vec{n}vec{n}^T+sin heta [vec{n}]_ imes
]
其中([vec{n}]_ imes)在视觉SLAM十四讲书中对应(vec{n}^land),不过([ ]_ imes)符号用的比较多。
旋转矩阵( o)旋转向量
[ heta=arccos(frac{tr(R)-1}{2})\
Rvec{n}=vec{n}
]
(tr(R))是矩阵的迹，对角线之和，在得到( heta)后再解方程(Rvec{n}=vec{n})就好了。
欧拉角
直接转步，这个还是要看图看视频好理解。
https://www.jianshu.com/p/21ab3e1d3422
注意欧拉角的死锁问题
四元数
这个就是为了解决死锁问题出来的，而且要比旋转向量方便计算。比旋转矩阵规模要小。
假设某个旋转矩阵是绕单位向量(vec{n}=(n_x,n_y,n_z)^T)进行了角度为( heta)的旋转，则四元数为：
[q=(cosfrac{ heta}{2},n_xsinfrac{ heta}{2},n_ysinfrac{ heta}{2},n_zsinfrac{ heta}{2})
]
用四元数表示旋转,若(p=(0,x,y,z)),(p^prime)是经过旋转q得到的，那么
[p^prime=qpq^{-1}
]