Floyd最小环

本文转自这里

　　最小环：从一个点出发,经过一条简单路径回到起点成为环.图的最小环就是所有环中长度最小的.

　　怎样求最小环呢?

　　1传统的解决方法(dijkstra):
        任意一个最小环环的权值，我们都可以看成两个有边相连的结点i、j的直接距离加上i、j间不包含边(边i->j)的最短路径。求最短路径我们第一个想到的就Dijkstra算法。而Dijkstra所求的是一个点到所有点的最短距离。用Dijkstra所求的i、j的最短距离一定是i、j的直接距离(如果i，j连通)，所以我们需要先将i、j的边从图中删除(若i，j不连通，则不用删除)，再用Dijkstra求新图中i、j的最短距离即可。所以我们每次在图中选取一条边，把它从图中删掉．然后对删掉的那条边所对应的2点进行Dijkstra，也就是m次Dijkstra。

　　2.floyd求最小环:

        抛开Dijkstra算法，进而我们想到用Floyd算法。我们知道，Floyd算法在进行时会不断更新矩阵dist(k)。设dist[k，i，j]表示从结点i到结点j且满足所有中间结点，它们均属于集合{1，2，⋯ ，k}的一条最短路径的权。其中dist[0，i,j ]即为初始状态i到j的直接距离。对于一个给定的赋权有向图， 求出其中权值和最小的一个环。我们可以将任意一个环化成如下形式：u->k->v ->(x1-> x2-> ⋯ xm1)-> u(u与k、k与v都是直接相连的)，其中v ->(x1-> 2-> ⋯ m)-> u是指v到u不经过k的一种路径。

        在u，k，v确定的情况下，要使环权值最小， 则要求 (x1一>x2->⋯一>xm)->u路径权值最小．即要求其为v到u不经过k的最短路径，则这个经过u，k，v的环的最短路径就是：[v到u不包含k的最短距离]+dist[O，u，k]+dist[O，k，v]。我们用Floyd只能求出任意2点间满足中间结点均属于集合{1，2，⋯ ，k}的最短路径，可是我们如何求出v到u不包含k的最短距离呢?
         现在我们给k加一个限制条件：k为当前环中的序号最大的节点(简称最大点)。因为k是最大点，所以当前环中没有任何一个点≥k，即所有点都<k。因为v->(x1->x2->......xm)->u属于当前环，所以x1，x2，⋯ ，xm<k，即x1，x2．⋯。xm≤k一1。这样，v到u的最短距离就可以表示成dist[k一1 ,u,v]。dist[k一1,v,u]表示的是从v到u且满足所有中间结点均属于集合{1，2，⋯ ，k一1}的一条最短路径的权。接下来，我们就可以求出v到u不包含k的最短距离了。这里只是要求不包含k，而上述方法用的是dist[k一1，v，u]，求出的路径永远不会包含k+l，k+2，⋯ 。万一所求的最小环中包含k+1，k+2，⋯ 怎么办呢?的确，如果最小环中包含比k大的节点，在当前u,k,v所求出的环显然不是那个最小环。然而我们知道，这个最小环中必定有一个最大点kO，也就是说，虽然当前k没有求出我们所需要的最小环，但是当我们从k做到kO的时候，这个环上的所有点都小于kO了．也就是说在k=kO时一定能求出这个最小环。我们用一个实例来说明：假设最小环为1—3—4—5—6—2—1。的确，在u=l，v=4，k=3时，k<6，dist[3，4，1]的确求出的不是4—5—6—2—1这个环，但是，当u=4，v=6，k=5或u=5，v=2，k=6时，dist[k，v，u]表示的都是这条最短路径.所以我们在Floyd以后，只要枚举u．v，k三个变量即可求出最小环。时间复杂度为O(n3)。我们可以发现，Floyd和最后枚举u，v,k三个变量求最小环的过程都是u,v,k三个变量，所以我们可以将其合并。这样，我们在k变量变化的同时，也就是进行Floyd算法的同时，寻找最大点为k的最小环。

POJ 1734　　

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define _Clr(x, y) memset(x, y, sizeof(x))
#define INF 0xfffffff
#define N 110
using namespace std;

int mat[N][N], dist[N][N];
int next[N][N]; // next[i][j]表示ｉ到ｊ经历的第一个点。
int path[N];
int cnt, n;

void Floyd()
{
    int mins=INF;
    for(int k=1; k<=n; k++)
    {
        for(int i=1; i<k; i++)
        for(int j=i+1; j<k; j++)
        {
            int tmp = dist[i][j]+mat[i][k]+mat[k][j];
            if(tmp < mins)// 更新最小环的权值
            {
                mins = tmp;
                cnt=0;
                int p = i;
                while(p!=j) // 记录最小环的路径
                {
                    path[cnt++] = p;
                    p = next[p][j];
                }
                path[cnt++] = j;
                path[cnt++] = k;
            }
        }
        for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=n; j++)
        {
            if(dist[i][k]+dist[k][j] < dist[i][j])
            {
                dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
                next[i][j] = next[i][k];
            }
        }
    }
    if(mins==INF)
        puts("No solution.");
    else
    {
        for(int i=0; i<cnt; i++)
            printf("%d%s", path[i], i==cnt-1 ? "
":" ");
    }
}

void Init()
{
    for(int i=1; i<=n; i++)
    for(int j=1; j<=n; j++)
    {
        mat[i][j] = dist[i][j] = INF;
        next[i][j] = j;
    }
}
int main()
{
    int m, a, b, c;
    while(~scanf("%d%d", &n, &m))
    {
        Init();
        while(m--)
        {
            scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
            if(c < mat[a][b])
            {
                mat[a][b] = mat[b][a] = c;
                dist[a][b] = dist[b][a] = c;
            }
        }
        Floyd();
    }
    return 0;
}