预备知识
一、期望的数学定义
如果X 是一个离散的随机变量,输出值为 x1, x2, ..., 和输出值相应的概率
为p1, p2, ... (概率和为 1), 那么期望值为E(x)=x1p1+x2p2+···+xn-1pn-1+xnpn
二、期望的线性性质
E(a*X+b)=a*E(X)+b
E(a*X+b*Y)=a*E(X)+b*E(Y)
E(XY)=E(X)*E(Y)
三、数学公式
1、无穷级数(参考百度百科)
1)定义
若有一个无穷数列
![](https://imgsa.baidu.com/baike/s%3D134/sign=4d33051a347adab439d01f40bfd4b36b/42166d224f4a20a4f3098af592529822720ed0e9.jpg)
此数列构成下列表达式
![](https://imgsa.baidu.com/baike/s%3D180/sign=5619c0146f224f4a5399771b39f69044/b17eca8065380cd775c114dfa344ad3459828121.jpg)
称以上表达式为常数项无穷级数(infinite series),简称级数,记为
![](https://imgsa.baidu.com/baike/s%3D242/sign=b04211ecf21f3a295ec8d2caab25bce3/3ac79f3df8dcd10086b74813708b4710b9122fdc.jpg)
其中第
项
叫做级数的一般项或通项。
![](https://imgsa.baidu.com/baike/s%3D9/sign=1d6737b5d2a20cf44290f2ee768013/b812c8fcc3cec3fdb8e61747d488d43f87942723.jpg)
![](https://imgsa.baidu.com/baike/s%3D15/sign=e740dc80b0b7d0a27fc90098cbefda2a/d788d43f8794a4c2376a57190cf41bd5ad6e39b2.jpg)
一般而言,我们有
(2)
![](https://imgsa.baidu.com/baike/s%3D217/sign=4b4eeafb74094b36df921cec94cd7c00/bd315c6034a85edff752ea074b540923dd547533.jpg)
2)性质
1.收敛条件:通项以0为极限
证明:![](https://imgsa.baidu.com/baike/s%3D382/sign=ae0cd9a35166d0167a199820a52ad498/728da9773912b31b278697478518367adbb4e1f2.jpg)
![](https://imgsa.baidu.com/baike/s%3D382/sign=ae0cd9a35166d0167a199820a52ad498/728da9773912b31b278697478518367adbb4e1f2.jpg)
2.系数性质:
若对于一个无穷级数,每项都乘以一个系数a,原级数和为s,则其和为as
即:![](https://imgsa.baidu.com/baike/s%3D93/sign=7462f5de79cb0a468122873a6a63e7d5/9825bc315c6034a8264eafa5c913495409237661.jpg)
![](https://imgsa.baidu.com/baike/s%3D93/sign=7462f5de79cb0a468122873a6a63e7d5/9825bc315c6034a8264eafa5c913495409237661.jpg)
3)求和方式
1.法一:
利用类似求等比数列的方法求解:
例如:
求
的和
解:
原式为
(1)
(1)-(2)得![](http://latex.numberempire.com/render?%281-q%29S_n%3D1-%282n-1%29q%5En%2B2%20%5Cfrac%7Bq-q%5En%7D%7B1-q%7D&sig=477e6a5988b24c0d4e586671989821c6)
则![](http://latex.numberempire.com/render?%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%20S_n%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1-q%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B2q%7D%7B%281-q%29%5E2%7D&sig=c81cf98598947c92e9096d628bdd38b0)
即级数和为![](http://latex.numberempire.com/render?S%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1-q%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B2q%7D%7B%281-q%29%5E2%7D&sig=fa2b0a987ca95cc76502e49222156684)
参考论文:
《浅析竞赛中一类数学期望问题的解决方法》
《信息学竞赛中概率问题求解初探》
《有关概率和期望问题的研究》
1.1 百事世界杯之旅
source:SHTSC2002 Day 1 Prob 2
“……在2003年6月之前购买的百事任何饮料的瓶盖上都会有一个百事球星的名字。只要凑齐所有百事球星的名字,就可以参加百事世界杯之旅的抽奖活动,获取球星背包、随身听,更可以赴日韩观看世界杯。还不赶快行动!……”
你关上电视,心想:假设有n个不同球星的名字,每个名字出现的概率相同,平均需要买几瓶饮料才能凑齐所有的名字呢?
输入输出要求
输入一个数字n,2≤n≤33,表示不同球星名字的个数。
输出凑齐所有的名字平均需要购买的饮料瓶数。如果是一个整数则直接输出。否则就用下面样例中的格式分别输出整数部分和小数部分。分数必须是不可约的。
样例输入和输出
Sample 1
2
3
Sample 2
5
5 11--- 12
Sample 3
17
340463 58---------- 720720
Solution
假设当前已经抽到了k个球员,那么再抽到剩余n-k个球员中的任意一个的概率为(n-k)/(n)