信号的参数模型

信号的参数模型

最近一直在看信号处理方面的文章，很多内容都已经忘的差不多了，都是大二大三学得信号与系统和数字信号处理的文章，也没有经过考研这个过程，没有对知识进行二次加热，所以现在难受的一比，只能默默的去图书馆借书，重新学习一下以前的知识，顺便了解一下现代数字信号处理相关的内容，做一下整理，加强记忆！

１何为最小相位系统

1.1最小时延多项式

考虑一个M阶的Z域多项式Ａ(z)，若其零点zi全部位于单位圆内，则称Ａ(z)为最小时延多项式，这个名字很有意思，何为最小时延后面会有解释！即：

$A(Z)=a_{0}+a_{1}Z^{-1}+a_{2}Z^{-2}+.....a_{M}Z^{-M}$

$=a_{0}(1-Z_{1}Z^{-1})(1-Z_{2}Z^{-2})......(1-Z_{M}Z^{-M})$

其中， $|z_{i}|<1,i=1,2,....M$

就称之为最小时延多项式

最小时延多项式的性质：

序列的总能量按照Parseval公式有:

$Pa = sum _{m=0}^{M}|a_{m}^{2}| = 1/2pi int_{-pi}^{pi}|A(omega )|^{2}dw$

即是离散时间序列在离散时间的总能量和其在频域的总能量是相等的！但是，因为序列离散的关系，引申出了一个新的概念，部分能量：

$P_{A} (n)= sum _{m=0}^{n}|a_{m}^{2}|,n=0,1,2,.....M$

从定义我们可以看出，部分能量就是部分序列的能量之和！

如果现在我们将最小时延多项式的Ａ(Z)的一个零点(不失一般性，即z1)共轭映射到单位圆外面，变为 $(z1^{*})^{-1}$ ,那么会得到一个新的多项式，非最小时延系统：

$B(Z)= frac{-Z1^{*}+Z^{-1}}{1-Z_{1}Z^{-1}}A(z)$

那么，上述公式也可以由一个(M-1)阶多项式F(z)计为：

$A(Z)=(1-Z_{1}Z^{-1})F(Z)$

$B(Z)=(-Z_{1}^{*}+Z^{-1})F(Z)$

因为， $| frac{-Z_{1}^{*}+Z^{-1}}{1-Z_{1}Z^{-1}}|^{2}_{z=ejw}=1$

那么，我们可以得到 $|A(w)|^{2}=|B(w)|^{2}$

因此，用单位圆外的共轭镜像零点置换一个最小时延多项式的零点时，其总振幅保持不变，当然总能量也保持不变，由于这种设置方法有２^M种，因此可以断言，

一个M阶最小时延多项式的总能量将会与２^M个非最小时延多项式的总能量相等

虽然这种零点置换不会改变总能量，但却改变了能量随时间的分布，即改变了部分能量，我们令 $a_{n},b_{n},f_{n}$ 分别表示多项式Ａ(z),B(z),F(z)的第n项的系数，那么：

$a_{n}=f_{n}-z_{1}f_{n-1}$

$b_{n}=-z_{1}^{*}f_{n}+f_{n-1}$

所以进一步有：

$|a_{n}|^{2}-|b_{n}|^2 = (1-|z_{1}|^{2})(|f_{n}|^{2}-|f_{n-1}|^{2})$

再根据求部分能量的定义，我们可以得：

$P_{a}(n)-P_{b}(n)=(1-|z_{1}|^2)|f_{n}|^{2}$

因为F(z)是一个M-1项的多项式，所以 $f_{M}=0$

也就是说 $Pa(M)=Pb(M)$ ,就是我们之前说的总能量相等！

但是当0<n<M时，恒有：

$Pa(n)-Pb(n)geq 0$

也就是说，在0<n<M的任何时刻，A(Z)的部分能量都大于B(Z)的部分能量，所以，得到结论：

最小时延多项式比具有相同振幅的非最小时延多项式具有能量分布的最小时延！

1.2最小相位系统

离散时间系统的传递函数为H(z)，若其分子分母多项式N(z),D(z)皆为最小时延多项式，即H(z)的零极点都在单位圆内，

$|z_{i}|<1,1leq ileq N$

$|z_{p}|<1,1leq pleq N$

则称H(z)所描述的系统为最小相位系统．

显然，通过刚才的分析，我们用零极点共轭映射的方法可以知道，该最小相位系统与许多非最小相位系统具有相同的｜H(ejw)｜

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