圆周角定理

圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。这一定理叫做圆周角定理。该定理反映的是圆周角与圆心角的关系。

已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.

证明：

情况1：

如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：

图1

∵OA、OC是半径

解：∴OA=OC

∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）

∵∠BOC是△AOC的外角

∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC

情况2：

如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：

连接AO，并延长AO交⊙O于D

图2

∵OA、OB、OC是半径

解：∴OA=OB=OC

∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）

∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角

∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）

∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）

∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC