先用程序估算一下
from __future__ import division import random N = 1000000 sums = 0 for i in range(N): count = 0 s = 0 while 1: s += random.random() count += 1 if s > 1: sums += count break print sums / N
三次给出的结果分别是
2.716957 2.718334 2.71885
2.718不就是e的味道吗，下面证明一下
先取两个特例
特例1：x+y < 1——两个随机数之和小于1
结果是紫色部分，为1/2
特例2：x+y+z< 1——三个随机数之和小于1
结果为深底下面的，占整个体积的1/6(锥体积：1/3*底面积*好=1/3 * 1/2 * 1 *1)
这个 1/6 可以利用截面与底面的相似比关系，通过简单的积分求得：
∫(0..1) (x^2)*1/2 dx = 1/6
推广：四个 0 到 1 之间的随机数之和小于 1 的概率就等于四维立方体一角的“体积”，它的“底面”是一个体积为 1/6 的三维体，在第四维上对其进行积分便可得到其“体积”
∫(0..1) (x^3)*1/6 dx = 1/24
依此类推， n 个随机数之和不超过 1 的概率就是 1/n! ，反过来 n 个数之和大于 1 的概率就是 1 – 1/n! ，因此加到第 n 个数才刚好超过 1 的概率就是
(1 – 1/n!) – (1 – 1/(n-1)!) = (n-1)/n!
因此，要想让和超过 1 ，需要累加的期望次数为
∑(n=2..∞) n * (n-1)/n! = ∑(n=1..∞) n/n! = e