取石子问题
有一种很有意思的游戏，就是有物体若干堆，可以是火柴棍或是围棋子等等均可。两个人轮流从堆中取物体若干，规定最后取光物体者取胜。这是我国民间很古老的一个游戏，别看这游戏极其简单，却蕴含着深刻的数学原理。下面我们来分析一下要如何才能够取胜。
（一）巴什博奕（Bash Game）：
只有一堆$n$个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取$m$个。最后取光者得胜。
显然，如果$n=m+1$，那么由于一次最多只能取$m$个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果$n=(m+1)r+s$，（$r$为任意自然数，$s≤m$),那么先取者要拿走$s$个物品，如果后取者拿走（$k≤m$）个，那么先取者再拿走$m+1-k$个，结果剩下 $(m+1) imes (r-1)$ 个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（$m+1$）的倍数，就能最后获胜。
即，若$n=k*(m+1)$，则后取着胜，反之，存在先取者获胜的取法。
n%(m+1)==0. 先取者必败。
这个游戏还可以有一种变相的玩法：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十个，谁能报到100者胜。
从一堆100个石子中取石子，最后取完的胜。
（二）威佐夫博奕（Wythoff Game）：
有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
这种情况下是颇为复杂的。我们用（$a_k$，$b_k$）（$a_k$ ≤ $b_k$ ,$k=0,1,2,...,n$)表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（$0$，$0$），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：（$0$，$0$）、（$1$，$2$）、（$3$，$5$）、（$4$，$7$）、（$6$，$10$）、（$8$，$13$）、（$9$，$15$）、（$11$，$18$）、（$12$，$20$）。
可以看出,$a_0=b_0=0$,$a_k$是未在前面出现过的最小自然数,而 $b_k= a_k + k$，奇异局势有
如下三条性质：
1. 任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
由于$a_k$是未在前面出现过的最小自然数，所以有$a_k > a_k-1 $，而$ b_k= a_k + k > a_k-1 + k-1 = b_k-1 > a_k-1 $。所以性质1.成立。
2. 任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
事实上，若只改变奇异局势（$a_k$，$b_k$）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使（$a_k$，$b_k$）的两个分量同时减少，则由 于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。
3. 采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。
假设面对的局势是（$a$,$b$），
- 若 $b = a$，则同时从两堆中取走 $a $个物体，就变为了奇异局势（$0$，$0$）；
- 如果$a = a_k$ ，$b > b_k$，那么，取走$b - b_k$个物体，即变为奇异局势；
- 如果$ a = a_k $，$ b < b_k$ ,则同时从两堆中拿走 $a_k - ab - a_k$个物体,变为奇异局势（ $ab - a_k$ , $ab - a_k+ b - a_k$）；
- 如果$a > a_k$ ，$b= a_k + k$,则从第一堆中拿走多余的数量$a - a+k$ 即可；
- 如果$a < a_k$ ，$b= a_k + k$,分两种情况，
· 第一种，$a=a_j$ （$j < k$）,从第二堆里面拿走 $b - b_j$ 即可；
· 第二种，$a=b_j$ （j < k）,从第二堆里面拿走 $b - a_j$ 即可。
从如上性质可知，两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜；反之，则后拿者取胜。
那么任给一个局势（$a$，$b$），怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：
$a_k =[k imes frac{(1+sqrt 5 )}{2}]$，$b_k= a_k + k$ （$k=0,1,2,...,n$ 方括号表示取整函数)
奇妙的是其中出现了黄金分割数$frac{(1+sqrt 5 )}{2}=1.618...$,因此,由$ak$，$bk$组成的矩形近似为黄金矩形，由于 $frac{2}{(1+sqrt 5 )}=frac{( sqrt 5-1)}{2}$，可以先求出$j=[frac{(sqrt 5-1 )}{2}]$。
若$a=[j imesfrac{(1+sqrt 5 )}{2}]$，那么$a = a_j$，$b_j = a_j + j$，若不等于，那么$a = a_j+1$，$b_j+1 = a_j+1+ j + 1$，若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异局势。
（三）尼姆博奕（Nimm Game）：
有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
这种情况最有意思，它与二进制有密切关系，我们用（a，b，c）表示某种局势，首先（0，0，0）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是（0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。仔细分析一下，（1，2，3）也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变为（0，n，n）的情形。
计算机算法里面有一种叫做按位模2加，也叫做异或的运算，我们用符号（+）表示这种运算。这种运算和一般加法不同的一点是1+1=0。先看（1，2，3）的按位模2加的结果：
1 =二进制01
2 =二进制10
3 =二进制11 （+）
———————
0 =二进制00 （注意不进位）
对于奇异局势（0，n，n）也一样，结果也是0。
任何奇异局势（a，b，c）都有a（+）b（+）c =0。
如果我们面对的是一个非奇异局势（a，b，c），要如何变为奇异局势呢？假设 a < b< c,我们只要将 c 变为 a（+）b,即可,因为有如下的运算结果: a（+）b（+）(a（+）b)=(a（+）a)（+）(b（+）b)=0（+）0=0。要将c 变为a（+）b，只要从 c中减去 c-（a（+）b）即可。
获胜情况对先取者进行讨论：
- 异或结果为0，先取者必败，无获胜方法。后取者获胜；
- 结果不为0，先取者有获胜的取法。
拓展： 任给$N$堆石子,两人轮流从任一堆中任取(每次只能取自一堆),取最后一颗石子的人获胜，问先取的人如何获胜？
根据上面所述，$N$个数异或即可。如果开始的时候$T＝0$，那么先取者必败，如果开始的时候$T>0$，那么只要每次取出石子使得$T=0$，即先取者有获胜的方法。
【综合一、三给出】
任给N堆石子,两人轮流从任一堆中任取(每次只能取自一堆),规定每方每次最多取K颗,取最后一颗石子的一方获胜.问先取的人如何获胜？
与上面的问题比，这个更复杂一些，我们可以这样做
令$B_i=A_imod(K+1)$
定义$T'=B1 oplus B2 oplus...oplus Bn$
如果$T'=0$ 那么没有获胜可能，先取者必败
如果$T'>0$ 那么必然存在取的方法，使得$T'=0$，先取者有获胜的方法
假设对方取了在$Ai$中取了$r<=K$个
如果$Ai$中剩下的石子多于$K$ 那么就在$Ai$中取走$K+1-r$个则$Bi$不变 $ T'$还是$0$
如果$Ai<=K$ 那么我们需要重新计算$Bi$和$T'$ 按照上面的方法来做就可以了
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