数学

泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。

若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：

 

 

其中，

  

表示f(x)的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项，是(x-x0)n的高阶无穷小。

 

 

余项

泰勒公式的余项Rn(x)可以写成以下几种不同的形式：

1、佩亚诺(Peano）余项：

这里只需要n阶导数存在

2、施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche）余项：

 

其中θ∈(0,1)，p为任意正实数。（注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项） [2] 

3、拉格朗日（Lagrange）余项：

其中θ∈(0,1)。

4、柯西（Cauchy）余项：

其中θ∈(0,1)。

5、积分余项：

其中以上诸多余项事实上很多是等价的。 [2] 

带佩亚诺余项

以下列举一些常用函数的泰勒公式 [1]  ：

 

泰勒展开是把一个函数用无数多个多项式来表示，所以用有限项来表示永远是不精确的。余项就是有限展开式和原函数之间的差。