问题简化

终于有时间来填坑了，这次一口气将双目重建扩展为多目重建吧。首先，为了简化问题，我们要做一个重要假设：用于多目重建的图像是有序的，即相邻图像的拍摄位置也是相邻的。多目重建本身比较复杂，我会尽量说得清晰，如有表述不清的地方，还请见谅并欢迎提问。

求第三个相机的变换矩阵

由前面的文章我们知道，两个相机之间的变换矩阵可以通过findEssentialMat以及recoverPose函数来实现，设第一个相机的坐标系为世界坐标系，现在加入第三幅图像（相机），如何确定第三个相机（后面称为相机三）到到世界坐标系的变换矩阵呢？

最简单的想法，就是沿用双目重建的方法，即在第三幅图像和第一幅图像之间提取特征点，然后调用findEssentialMat和recoverPose。那么加入第四幅、第五幅，乃至更多呢？随着图像数量的增加，新加入的图像与第一幅图像的差异可能越来越大，特征点的提取变得异常困难，这时就不能再沿用双目重建的方法了。

那么能不能用新加入的图像和相邻图像进行特征匹配呢？比如第三幅与第二幅匹配，第四幅与第三幅匹配，以此类推。当然可以，但是这时就不能继续使用findEssentialMat和recoverPose来求取相机的变换矩阵了，因为这两个函数求取的是相对变换，比如相机三到相机二的变换，而我们需要的是相机三到相机一的变换。有人说，既然知道相机二到相机一的变换，又知道相机到三到相机二的变换，不就能求出相机三到相机一的变换吗？实际上，通过这种方式，你只能求出相机三到相机一的旋转变换（旋转矩阵R），而他们之间的位移向量T，是无法求出的。这是因为上面两个函数求出的位移向量，都是单位向量，丢失了相机之间位移的比例关系。

说了这么多，我们要怎么解决这些问题？现在请出本文的主角——solvePnP和solvePnPRansac。根据opencv的官方解释，该函数根据空间中的点与图像中的点的对应关系，求解相机在空间中的位置。也就是说，我知道一些空间当中点的坐标，还知道这些点在图像中的像素坐标，那么solvePnP就可以告诉我相机在空间当中的坐标。solvePnP和solvePnPRansac所实现的功能相同，只不过后者使用了随机一致性采样，使其对噪声更鲁棒，本文使用后者。

好了，有这么好的函数，怎么用于我们的三维重建呢？首先，使用双目重建的方法，对头两幅图像进行重建，这样就得到了一些空间中的点，加入第三幅图像后，使其与第二幅图像进行特征匹配，这些匹配点中，肯定有一部分也是图像二与图像一之间的匹配点，也就是说，这些匹配点中有一部分的空间坐标是已知的，同时又知道这些点在第三幅图像中的像素坐标，嗯，solvePnP所需的信息都有了，自然第三个相机的空间位置就求出来了。由于空间点的坐标都是世界坐标系下的（即第一个相机的坐标系），所以由solvePnP求出的相机位置也是世界坐标系下的，即相机三到相机一的变换矩阵。

加入更多图像

通过上面的方法得到相机三的变换矩阵后，就可以使用上一篇文章提到的triangulatePoints方法将图像三和图像二之间的匹配点三角化，得到其空间坐标。为了使之后的图像仍能使用以上方法求解变换矩阵，我们还需要将新得到的空间点和之前的三维点云融合。已经存在的空间点，就没必要再添加了，只添加在图像二和三之间匹配，但在图像一和图像三中没有匹配的点。如此反复。
多目重建流程
为了方便点云的融合以及今后的扩展，我们需要存储图像中每个特征点在空间中的对应点。在代码中我使用了一个二维列表，名字为correspond_struct_idx，correspond_struct_idx[i][j]代表第i幅图像第j个特征点所对应的空间点在点云中的索引，若索引小于零，说明该特征点在空间当中没有对应点。通过此结构，由特征匹配中的queryIdx和trainIdx就可以查询某个特征点在空间中的位置。

代码实现

前一篇文章的很多代码不用修改，还可以继续使用，但是程序的流程有了较大变化。首先是初始化点云，也就是通过双目重建方法对图像序列的头两幅图像进行重建，并初始化correspond_struct_idx。

void init_structure(
    Mat K,
    vector<vector<KeyPoint>>& key_points_for_all, 
    vector<vector<Vec3b>>& colors_for_all,
    vector<vector<DMatch>>& matches_for_all,
    vector<Point3f>& structure,
    vector<vector<int>>& correspond_struct_idx,
    vector<Vec3b>& colors,
    vector<Mat>& rotations,
    vector<Mat>& motions
    )
{
    //计算头两幅图像之间的变换矩阵
    vector<Point2f> p1, p2;
    vector<Vec3b> c2;
    Mat R, T;   //旋转矩阵和平移向量
    Mat mask;   //mask中大于零的点代表匹配点，等于零代表失配点
    get_matched_points(key_points_for_all[0], key_points_for_all[1], matches_for_all[0], p1, p2);
    get_matched_colors(colors_for_all[0], colors_for_all[1], matches_for_all[0], colors, c2);
    find_transform(K, p1, p2, R, T, mask);

    //对头两幅图像进行三维重建
    maskout_points(p1, mask);
    maskout_points(p2, mask);
    maskout_colors(colors, mask);

    Mat R0 = Mat::eye(3, 3, CV_64FC1);
    Mat T0 = Mat::zeros(3, 1, CV_64FC1);
    reconstruct(K, R0, T0, R, T, p1, p2, structure);
    //保存变换矩阵
    rotations = { R0, R };
    motions = { T0, T };

    //将correspond_struct_idx的大小初始化为与key_points_for_all完全一致
    correspond_struct_idx.clear();
    correspond_struct_idx.resize(key_points_for_all.size());
    for (int i = 0; i < key_points_for_all.size(); ++i)
    {
        correspond_struct_idx[i].resize(key_points_for_all[i].size(), -1);
    }

    //填写头两幅图像的结构索引
    int idx = 0;
    vector<DMatch>& matches = matches_for_all[0];
    for (int i = 0; i < matches.size(); ++i)
    {
        if (mask.at<uchar>(i) == 0)
            continue;

        correspond_struct_idx[0][matches[i].queryIdx] = idx;
        correspond_struct_idx[1][matches[i].trainIdx] = idx;
        ++idx;
    }
}

初始点云得到后，就可以使用增量方式重建剩余图像，注意，在代码中为了方便实现，所有图像之间的特征匹配已经事先完成了，并保存在matches_for_all这个列表中。增量重建的关键是调用solvePnPRansac，而这个函数需要空间点坐标和对应的像素坐标作为参数，有了correspond_struct_idx，实现这个对应关系的查找还是很方便的，如下。

void get_objpoints_and_imgpoints(
    vector<DMatch>& matches,
    vector<int>& struct_indices, 
    vector<Point3f>& structure, 
    vector<KeyPoint>& key_points,
    vector<Point3f>& object_points,
    vector<Point2f>& image_points)
{
    object_points.clear();
    image_points.clear();

    for (int i = 0; i < matches.size(); ++i)
    {
        int query_idx = matches[i].queryIdx;
        int train_idx = matches[i].trainIdx;

        int struct_idx = struct_indices[query_idx];
        if (struct_idx < 0) continue;

        object_points.push_back(structure[struct_idx]);
        image_points.push_back(key_points[train_idx].pt);
    }
}

之后调用solvePnPRansac得到相机的旋转向量和位移，由于我们使用的都是旋转矩阵，所以这里要调用opencv的Rodrigues函数将旋转向量变换为旋转矩阵。之后，使用上一篇文章中用到的reconstruct函数对匹配点进行重建（三角化），不过为了适用于多目重建，做了一些简单修改。

void reconstruct(Mat& K, Mat& R1, Mat& T1, Mat& R2, Mat& T2, vector<Point2f>& p1, vector<Point2f>& p2, vector<Point3f>& structure)
{
    //两个相机的投影矩阵[R T]，triangulatePoints只支持float型
    Mat proj1(3, 4, CV_32FC1);
    Mat proj2(3, 4, CV_32FC1);

    R1.convertTo(proj1(Range(0, 3), Range(0, 3)), CV_32FC1);
    T1.convertTo(proj1.col(3), CV_32FC1);

    R2.convertTo(proj2(Range(0, 3), Range(0, 3)), CV_32FC1);
    T2.convertTo(proj2.col(3), CV_32FC1);

    Mat fK;
    K.convertTo(fK, CV_32FC1);
    proj1 = fK*proj1;
    proj2 = fK*proj2;

    //三角重建
    Mat s;
    triangulatePoints(proj1, proj2, p1, p2, s);

    structure.clear();
    structure.reserve(s.cols);
    for (int i = 0; i < s.cols; ++i)
    {
        Mat_<float> col = s.col(i);
        col /= col(3);  //齐次坐标，需要除以最后一个元素才是真正的坐标值
        structure.push_back(Point3f(col(0), col(1), col(2)));
    }
}

最后，将重建结构与之前的点云进行融合。

void fusion_structure(
    vector<DMatch>& matches, 
    vector<int>& struct_indices, 
    vector<int>& next_struct_indices,
    vector<Point3f>& structure, 
    vector<Point3f>& next_structure,
    vector<Vec3b>& colors,
    vector<Vec3b>& next_colors
    )
{
    for (int i = 0; i < matches.size(); ++i)
    {
        int query_idx = matches[i].queryIdx;
        int train_idx = matches[i].trainIdx;

        int struct_idx = struct_indices[query_idx];
        if (struct_idx >= 0) //若该点在空间中已经存在，则这对匹配点对应的空间点应该是同一个，索引要相同
        {
            next_struct_indices[train_idx] = struct_idx;
            continue;
        }

        //若该点在空间中已经存在，将该点加入到结构中，且这对匹配点的空间点索引都为新加入的点的索引
        structure.push_back(next_structure[i]);
        colors.push_back(next_colors[i]);
        struct_indices[query_idx] = next_struct_indices[train_idx] = structure.size() - 1;
    }
}

整个增量方式重建图像的代码大致如下。

//初始化结构（三维点云）
init_structure(
    K,
    key_points_for_all,
    colors_for_all,
    matches_for_all,
    structure,
    correspond_struct_idx,
    colors,
    rotations,
    motions
    );

//增量方式重建剩余的图像
for (int i = 1; i < matches_for_all.size(); ++i)
{
    vector<Point3f> object_points;
    vector<Point2f> image_points;
    Mat r, R, T;
    //Mat mask;

    //获取第i幅图像中匹配点对应的三维点，以及在第i+1幅图像中对应的像素点
    get_objpoints_and_imgpoints(
        matches_for_all[i], 
        correspond_struct_idx[i], 
        structure,
        key_points_for_all[i+1], 
        object_points,
        image_points
        );

    //求解变换矩阵
    solvePnPRansac(object_points, image_points, K, noArray(), r, T);
    //将旋转向量转换为旋转矩阵
    Rodrigues(r, R);
    //保存变换矩阵
    rotations.push_back(R);
    motions.push_back(T);

    vector<Point2f> p1, p2;
    vector<Vec3b> c1, c2;
    get_matched_points(key_points_for_all[i], key_points_for_all[i + 1], matches_for_all[i], p1, p2);
    get_matched_colors(colors_for_all[i], colors_for_all[i + 1], matches_for_all[i], c1, c2);

    //根据之前求得的R，T进行三维重建
    vector<Point3f> next_structure;
    reconstruct(K, rotations[i], motions[i], R, T, p1, p2, next_structure);

    //将新的重建结果与之前的融合
    fusion_structure(
        matches_for_all[i], 
        correspond_struct_idx[i], 
        correspond_struct_idx[i + 1],
        structure, 
        next_structure,
        colors,
        c1
        );
}

测试

我用了八幅图像进行测试，正如问题简化中所要求的那样，图像是有序的。
图片序列
程序的大部分时间花在特征提取和匹配上，真正的重建过程耗时很少。最终结果如下。
重建结果
图中每个彩色坐标系都代表一个相机。

思考

这个多目三维重建程序，要求图像必须是有序的，如果图像无序，比如只是对某个目标在不同角度的随意拍摄，程序应该如何修改？
增量式三维重建方法，有一个很大的缺点——随着图像的不断增加，误差会不断累积，最后误差过大以至于完全偏离重建的目标，怎么解决？

有兴趣的读者可以思考一下上面两个问题，第二个问题比较难，我会在下一篇文章中详细介绍。

下载

程序使用VS2015开发，OpenCV版本为3.1且包含扩展部分，如果不使用SIFT特征，可以修改源代码，然后使用官方未包含扩展部分的库。软件运行后会将三维重建的结果写入Viewer目录下的structure.yml文件中，在Viewer目录下有一个SfMViewer程序，直接运行即可读取yml文件并显示三维结构。

代码下载地址