参考：Sears and Zemansky's university physics : with modern physics, 13th Ed
我们从自由粒子做个说明。
我们从熟悉的机械波开始谈起。
在弦上传播的一个波的波动方程是这样的
egin{equation*} frac{partial^2 y(x,t)}{partial x^2}=frac{1}{v^2}frac{partial^2 y(x,t)}{partial t^2} end{equation*}
方程的解是
egin{equation*} y(x,t)=Acos(kx-omega t)+Bsin(kx-omega t) end{equation*}
其中(v)是波速，(k=2pi/lambda)为波数，(omega = 2pi u)为圆频率。于是有
egin{equation*} egin{split} frac{partial^2 y(x,t)}{partial t^2}&=-omega^2 y(x,t)\ frac{partial^2 y(x,t)}{partial x^2}&=-k^2 y(x,t) end{split} end{equation*}
容易看出来，(y(x,t))要满足波动方程，必须要求(omega =v k)。
现在我们看自由粒子的量子力学。
设自由粒子的质量为(m)，粒子能量(E=frac{p^2}{2m})，由波粒两象性，(E=h u=hbar omega，p=h/lambda =hbar k)，于是可得(hbar omega =frac{hbar^2 k^2}{2m})。
假设粒子的波函数为
egin{equation*} Psi(x,t)=Acos(kx-omega t)+Bsin(kx-omega t) end{equation*}
对(x)求二阶导，
egin{equation*} frac{partial^2 Psi(x,t)}{partial x^2}=-k^2 Psi(x,t) end{equation*}
对(t)求一阶导
egin{equation*} frac{partial Psi(x,t)}{partial t}=omega [A sin(kx-omega t)-B cos(kx-omega t)] end{equation*}
根据前面我们得到的关系，(hbaromega =frac{hbar^2 k^2}{2m})，可知波动方程必须是如下形式
egin{equation*} -frac{hbar^2}{2m}frac{partial^2 Psi(x,t)}{partial x^2}=Chbar frac{partial Psi(x,t)}{partial t} end{equation*}
其中(C)为未定参数。把求导带入上式，可得(A=-CB)，(B=CA)，由此可得(C=i)，(B=iA)，所以量子波动方程为
egin{equation*} -frac{hbar^2}{2m}frac{partial^2 Psi(x,t)}{partial x^2}=ihbar frac{partial Psi(x,t)}{partial t} end{equation*}
波函数
egin{equation*} Psi(x,t)=A[cos(kx-omega t)+isin(kx-omega t)]=Ae^{i(kx-omega t)} end{equation*}
综上，量子力学必须里必须有复数。