原链接未知。原作者:Tim St Pierre
考虑自由连接链,链节长度为(a),矢量(vec{a})表示链节的取向和长度。取向与(x)轴夹角在( heta)到( heta+delta heta)之间的链节数目正比于球上面积
egin{equation*} delta A=2pi a^2 sin heta delta heta end{equation*}
即链节取向与(x)轴夹角为( heta)的概率为
egin{equation*} P( heta)d heta=C2pi a^2 sin heta d heta end{equation*}
其中(C)为归一化常数,由下式定出
egin{equation*} int_0^{ heta} P( heta)d heta=1 end{equation*}
于是有
egin{equation*} P( heta)=frac{1}{2} sin heta d heta end{equation*}
键的取向
如果链被拉伸,不失一般性,假设力沿(x)轴方向。链节不同的取向对应的势能不相等。平均需要(2aF)的势能使沿(x)方向的链节变得沿(x)负方向。
链被拉伸
链节的取向势能为
egin{equation*} V=-Facos heta=vec{F} cdot vec{a} end{equation*}
链节取向与与(x)轴夹角为( heta)的概率正比于(expleft (-frac{V}{k_BT} ight )),即
egin{equation*} P( heta)d heta=left (frac{1}{2} sin heta d heta ight )expleft (-frac{V}{k_BT} ight ) end{equation*}
所以(vec{a})的(x)分量的平均值为
egin{equation*} egin{split} langle a_x angle &=frac{int_0^{pi}acos heta left (frac{1}{2} sin heta d heta ight )expleft (-frac{V}{k_BT} ight )}{int_0^{pi}left (frac{1}{2} sin heta d heta ight )expleft (-frac{V}{k_BT} ight )}\ &=aleft [cothleft (frac{Fa}{k_BT} ight )- frac{k_BT}{Fa} ight ] end{split} end{equation*}
如果链长为(N),则平均末端距的(x)分量为
egin{equation*} langle r_x angle=Naleft [cothleft (frac{Fa}{k_BT} ight )- frac{k_BT}{Fa} ight ] end{equation*}
链在(y)和(z)方向上没有被拉伸,因此
egin{equation*} langle r_y angle=langle r_z angle=0 end{equation*}
于是链的平均末端距为
egin{equation*} langle r angle=Naleft [cothleft (frac{Fa}{k_BT} ight )- frac{k_BT}{Fa} ight ]=Namathcal {L}left(frac{Fa}{k_BT} ight ) end{equation*}
其中(mathcal {L}left(frac{Fa}{k_BT} ight ))为朗之万函数
对于双曲余切函数(coth x=frac{e^x+e^{-x}}{e^x+e^{-x}}),展开成级数,为如下形式
egin{equation*} coth x=frac{e^x+e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=frac{1}{x}+frac{x}{3}+cdots end{equation*}
当拉伸力比较小时,(Fall k_BT),链末端距为
egin{equation*} langle r angle=frac{NFa}{3k_BT} end{equation*}
上式可写为
egin{equation*} F=frac{3 k_BT}{Na}langle r angle end{equation*}
此正是胡克定律。
如果(Fagt k_BT),末端距必须采用朗之万函数形式。
末端距与拉伸力
交换上图坐标系,有下图
力与末端距
下图为实验结果,突变膜蛋白G241C Mutant的力谱(Science 2000, 288, 143)
力谱