电场线和电通量
法拉第想出一种形象化的方法描述电场——电场线，电场线上每一点的切线方向表示该点电场的方向，电场线的疏密表示电场的大小。下面为几种带电体系的电场线。
图为点电荷的电场线
图为一对等量异号电荷的电场线
图为一对等量同号电荷的电场线
一对不等量异号电荷的电场线
带电平行板之间的电场线
定量上表示某点场强的大小，可以在这一点做一个与电场线垂直的小面元(mathrm dS_{perp})，如图1所示，通过此小面元的电场线数目为(mathrm dN)，则电场的大小为：
egin{equation*} E=Cfrac{mathrm dN}{mathrm dS_{perp}}=frac{mathrm dPhi_E}{mathrm dS_{perp}} end{equation*}
图1 在电场中某一点取面元
由上式得，
egin{equation*} mathrm dPhi_E=Emathrm dS_{perp} end{equation*}
这个量我们称为电通量，表示通过与电场方向垂直的一个面元的电场线的数目。
对于一个一般的面元，也可以定义电通量，如图2所示，面元 (mathrm dS)与电场方向不垂直。由图2明显看出，通过面元(mathrm dS)的电场线数目与通过面元(mathrm dS_{perp})的数目是一样的，即
egin{equation*} mathrm dPhi_E=Emathrm dS_{perp}=Emathrm dScos heta end{equation*}
图2 通过面元 (mathrm dS) 的电通量
你也可以把电场分解成两部分，垂直于面元的电场(vec{E}\_{perp})和平行于面元的电场(vec{E}\_{parallel})，后者通过面元的电通量为0，所以电场(vec{E})通过面元的电通量即电场(vec{E}\_{perp})通过面元的电通量，即
egin{equation*} mathrm dPhi_E=mathrm dPhi_{E_{perp}}=Ecos hetamathrm dS=vec{E}cdothat{n}mathrm dS=vec{E}cdotmathrm dvec{S} end{equation*}
其中，(hat{n})为面元的法向单位向量，面元用矢量面元表示，(dvec{S}=hat{n}mathrm dS)。上式就是电通量的定义式
egin{equation*} mathrm dPhi_E=vec{E}cdotmathrm dvec{S} end{equation*}
由上式可见，电通量可正可负可为零，符号由电场(vec{E})的方向与面元法向的夹角 ( heta) 决定，如图3所示。
图3 电场 (vec{E}) 的方向与面元法向 (hat{n}) 的夹角 ( heta)
要求出电场通过一个一般曲面(S)的电通量，需要把曲面分割成许许多多的小面元，求出每个小面元的电通量，然后积分，即：
egin{equation*} Phi_E=intmathrm dPhi_E=int_Svec{E}cdotmathrm dvec{S} end{equation*}
图4 电场通过一个一般曲面(S)的电通量
电场通过一个闭合曲面(S)的电通量为：
egin{equation*} Phi_E=intmathrm dPhi_E=oint_Svec{E}cdotmathrm dvec{S} end{equation*}
对于不闭合的曲面，法向矢量的正方向可以任意选取，但是闭合曲面把空间分成内外两个部分，法向矢量正方向的两种取向不等价。我们约定闭合曲面的法向矢量的正方向是指向曲面外部的方向。如图5所示，在面元(mathrm dvec{S}\_1)处，(mathrm dPhi\_E>0)，电场线从闭合曲面穿出到外部空间。在面元(mathrm dvec{S}\_2)处，(mathrm dPhi\_E<0)，电场线从外部穿入闭合曲面内部空间。那么(Phi\_E)就是净穿出闭合曲面的电场线的数目。
图5 电场通过一个闭合曲面(S)的电通量
练习1 匀强电场(vec{E}) 里一个半径为(r)小圆盘，圆盘法向(hat{n})与电场方向夹角为(30^{circ})，求通过圆盘的电通量。如果 (hat{n}perp vec{E})，电通量为多少，如果 (hat{n}parallel vec{E})，电通量为多少。
练习1 的图
练习2 非匀强电场(vec{E}=3xhat{i}+4hat{j})，电场线穿过一个立方体，如图所示，求电场线穿过此立方体表面的电通量。
练习2 的图
练习3 以点电荷(q)为中心做以半径为(r)的球面，求点电荷(q)的电场穿过球面的电通量。
练习3 的图
高斯定理
高斯定理与库仑定律等价，高斯定理是描述电荷与电场关系的另外一种方法。高斯定理以其提出者德国数学家高斯的名字命名（1835年提出，1867年发表，发表的时候高斯已经去世12年了）。
点电荷(q)的电场穿过以其为中心的球面的电通量为
egin{equation*} egin{split} Phi_E=& oint_S vec{E}cdotmathrm dvec{S}=oint_Sfrac{q}{4pivarepsilon_0r^2}hat{r}cdotmathrm dvec{S}=oint_Sfrac{q}{4pivarepsilon_0r^2}mathrm dS \ =&intintfrac{q}{4pivarepsilon_0r^2}r^2sin hetamathrm d heta mathrm dphi=frac{q}{4pivarepsilon_0}int_0^{pi}sin hetamathrm d heta int_0^{2pi} mathrm dphi \ =&frac{q}{varepsilon_0} end{split} end{equation*}
其中，球面上面积元(mathrm dS=r^2sin hetamathrm d heta mathrm dphi)，如下图所示。
图为球面上的面积元
这个结果与球面半径无关，只与球心的电荷量有关。这意味着，对以点电荷(q) 为球心的任意球面来说，通过它们的电通量都相等，为(q/varepsilon_0)，用电场线的图像来说，通过各球面的电场线的条数都相等，也就是说，从点电荷 (q) 发出的电场线连续地延伸到无限远处，中间电场线不中断，也不突然增加电场线。
现在设想点电荷在任意闭合曲面(S')内，(S')面与球面 (S) 包围同一个点电荷 (q)，如图6所示，由于电场线的连续性，则通过(S')面与球面 (S)的电场线的数目是一样的。因此通过任意形状的包围点电荷 (q) 的闭合曲面的电通量都相等，为(q/varepsilon_0)。
图6 通过包围 (q) 的任意闭合曲面的电通量
如果闭合曲面(S')没有包围点电荷 (q)，如图7所示，由电场线的连续性可知，电场线从一侧进入(S')，一定会从另一侧穿出(S')，即净穿过(S')的电通量为零。
图7 通过不包围 (q) 的任意闭合曲面的电通量
以上讨论的是单个点电荷的电场，现在考虑一个点电荷系，组成电荷为(q_1,q_2,q_3,dots,q_n)，在空间产生的电场为：
egin{equation*} vec{E}=vec{E}_1+vec{E}_2+dots+vec{E}_n=sum_{i=1}^nvec{E}_i end{equation*}
其中 (vec{E}\_i) 为点电荷 (q\_i) 产生的电场。这个点电荷系的电场 (vec{E})通过某任意封闭曲面的电通量为：
egin{equation*} Phi_E=oint_Svec{E}cdotmathrm d vec{S} =oint_S left (sum_{i=1}^nvec{E}_i ight )cdotmathrm d vec{S}=sum_{i=1}^noint_Svec{E}_icdotmathrm d vec{S} =sum_{i=1}^nPhi_{Ei} end{equation*}
如果电荷 (q_i) 被封闭在曲面(S)内部，则(Phi_{Ei}=q_i/varepsilon_0)，如果电荷 (q_i) 在曲面(S)外部，则(Phi_{Ei}=0)，所以上式的结果为：
egin{equation*} Phi_E =oint_Svec{E}cdotmathrm d vec{S}=frac{1}{varepsilon_0}sum_{iin S}q_i=frac{q_{内}}{varepsilon_0} end{equation*}
此即为高斯定理：真空中的任何静电场中,穿过任一闭合曲面的电通量,等于该曲面所包围的电荷电量的代数和乘以 (1/varepsilon_0)。闭合曲面可能是也可能不是实际物理对象，只是为了应用高斯定理，因此也称为高斯面。
对于高斯定理要注意两点：(1) 闭合曲面处的电场(vec{E}) 是所有电荷产生的，包括曲面外的电荷。(2)仅闭合曲面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献。
练习4 如图为电偶极子的电场线，分别求出通过A、B、C、D 四个闭合曲面的电通量。
利用立体角概念可以对高斯定理做严格证明，详见赵凯华《电磁学》。
参考资料：
- 张三慧《电磁学》
- Chapter 4 of Electricity, Magnetism, and Light
- Young and Freedman, University Physics 13th Ed