平衡二叉树

我们知道，对于一般的二叉搜索树（Binary Search Tree），其期望高度（即为一棵平衡树时）为log2n，其各操作的时间复杂度（O(log2n)）同时也由此而决定。但是，在某些极端的情况下（如在插入的序列是有序的时），二叉搜索树将退化成近似链或链，此时，其操作的时间复杂度将退化成线性的，即O(n)。我们可以通过随机化建立二叉搜索树来尽量的避免这种情况，但是在进行了多次的操作之后，由于在删除时，我们总是选择将待删除节点的后继代替它本身，这样就会造成总是右边的节点数目减少，以至于树向左偏沉。这同时也会造成树的平衡性受到破坏，提高它的操作的时间复杂度。

平衡二叉搜索树（Balanced Binary Tree）：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。常用算法有红黑树、AVL、Treap、伸展树等。在平衡二叉搜索树中，我们可以看到，其高度一般都良好地维持在O（log（n）），大大降低了操作的时间复杂度。

红黑树，它是复杂的，但它的操作有着良好的最坏情况运行时间，并且在实践中是高效的: 它可以在O(log n)时间内做查找，插入和删除，这里的n是树中元素的数目。

AVL是最先发明的自平衡二叉查找树算法。在AVL中任何节点的两个儿子子树的高度最大差别为一，所以它也被称为高度平衡树，n个结点的AVL树最大深度约1.44log2n。查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O（log n）。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。

如何判断一棵树平衡二叉树？

 1 判断是否是平衡二叉树
 2 #include<stdio.h>
 3 #include<stdlib.h>
 4 typedef struct node {
 5     struct node *lchild, *rchild;
 6     char data;
 7 }BiTNode, *BiTree;
 8 typedef struct {
 9     BiTree pNode;
10     int flag;
11 }StackNode;
12 void Create(BiTree *T) {
13     char ch;
14     scanf("%c", &ch);
15     if (ch == '#')
16         *T = NULL;
17     else {
18         *T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
19         if (*T == NULL) exit(-1);
20         (*T)->data = ch;
21         Create(&((*T)->lchild));
22         Create(&((*T)->rchild));
23     }
24 }
25 /*算法流程
26 递归计算二叉树的深度的时间复杂度是O（n） 
27 先写出计算计算二叉树深度的代码。
28 后序遍历每个结点，判断左右深度的关系
29 设置全局变量标志位。
30 */ 
31 /*判断二叉树是否是平衡树*/
32 int Depth(BiTree T,bool *status,bool *flag) {
33     if(T == NULL)
34     return 0;
35     int left = Depth(T->lchild,status,flag);
36     int right = Depth(T->rchild,status,flag);
37     if(left -  right > 1 || left - right < -1) {
38         *status = false;//某个结点不是平衡树，记录下来 
39         if(*status == false)//可以用全局变量数组记录，然后遍历数组 
40         *flag = false;//有false成员就不是平衡树。但可以用一个变量记录， 
41     }//但是由于要遍历所有结点，会覆盖status，所有又加一个全局变量flag. 
42     return left > right ? left + 1 : right + 1;
43 }
44 bool IsPingHeng(BiTree T) {
45     if(T == NULL)
46     return true;
47     bool status = true;
48     bool flag = true;
49     Depth(T,&status,&flag);
50     return flag ? true : false;
51 }
52 int main() {
53     BiTree T;
54     Create(&T);
55     bool haha,hehe;
56     bool status;
57     status = IsPingHeng(T);
58     if(status) 
59     printf("平衡树
");
60     else
61     printf("不是平衡树
");
62     printf("二叉树的深度是: %d
",Depth(T,&haha,&hehe));
63     return 0;
64 }