多元线性回归和正规方程解
在真实世界中，真实的样本是有很多的特征值的，这种也是可以使用线性回归解决的，通常我们称这种为多元线性回归问题
我们设一个样本的特征为xi，则
那么对应的y就是
这种直线仍然有截距，即
如果我们可以学习到这多个样本的话，那么我们就可以求出我们的多元线性回归对应的预测值
与简单线性基本一致，只是变成了多元的情况
其思想也是基本一致，其目的仍然是让其中的损失函数尽可能的小
与简单不一样的是，其中的有一部分是不同的
那么就可以确定多元线性回归的目标
对于这个式子，其就是一个列向量
那么我们对这个式子可以进行改变，在截距后面增加一个第0号特征，一般上来说，特征是从1开始的，为了能够和截距结合在一起，让我们计算起来比较方便，在这里我们虚构一个第0特征，其恒等于1
这样变化以后，我们可以将xi变为（其为行向量）
这样我们就变成了一个矩阵，每一行代表一个样本，每一列代表一个特征，那么我们就可以将其写成
我们将其推广到全部的样本上
那么我们就得到了关于这个参数相应的x中的每一个样本的预测的结果
那么我们的多元线性回归的问题的目标就可以变成
那么我们怎么计算呢，思路是一样的，使用最小二乘法的思路，对每一个进行求导（矩阵）
推导结果（不用管推导过程，不影响使用）
这个式子被称为多元线性回归的正规方程解，这样的式子看起来不错
但是有个问题，其式子的时间复杂度高，是O（n³），可以优化，但是也很高，会出现效率问题，但是也有解决方案
其优点是不需要对数据做归一化处理，对多元线性回归没有必要进行这一步
一般实际操作的时候，有的时候，最终报告给用户是将截距和系数分开报告，这个系数可以用于描述对于最终样本相应的贡献的程度，截距是和样本不相关的
我们在LinearRegression.py中写入我们想要封装的代码，广义上的多元线性回归问题
其中
self.coef_系数
self.interception_截距
self._theta整体计算出的向量
代码如下
import numpy as np
from metrics import r2_score
class LinearRegression:
def __init__(self):
"""初始化LinearRegression模型"""
self.coef_ = None
self.interception_ = None
self._theta = None
def fit_normal(self, X_train, y_train):
"""根据训练数据集X_train, y_train训练LinearRegression模型"""
assert X_train.shape[0] == y_train.shape[0],
"the size of X_ _train must be equal to the size of y_train"
X_b = np.hstack([np.ones((len(X_train), 1)), X_train])
self._theta = np.linalg.inv(X_b.T.dot(X_b)).dot(X_b.T).dot(y_train);
self.interception_ = self._theta[0]
self.coef_ = self._theta[1:]
return self
def predict(self, X_predict):
"""给定待预测数据集X_predict, 返回表示X_predict的结果向量"""
assert self.interception_ is not None and self.coef_ is not None,
"must fit before predict!"
assert X_predict.shape[1] == len(self.coef_),
"the feature number of x_predict must be equal to X_train"
X_b = np.hstack([np.ones((len(X_predict), 1)), X_predict])
return X_b.dot(self._theta)
def score(self, X_test, y_test):
"""根据测试数据集X_test和y_test确定当前模型的准确度"""
y_predict = self.predict(X_test)
return r2_score(y_test, y_predict)
def __repr__(self):
return "LinearRegression()"
在notebook中
操作同前笔记
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets
采用波士顿数据
boston = datasets.load_boston()
X = boston.data
y = boston.target
大小范围为小于50
X = X[y < 50.0]
y = y[y < 50.0]
X对应的shape
X.shape
使用随机种子666
from model_selection import train_test_split
X_train,X_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y,seed=666)
引用并实例化后再fit
from LinearRegression import LinearRegression
reg = LinearRegression()
reg.fit_normal(X_train,y_train)
模型渲染好了以后简单地查看一下
reg.coef_
reg.interception_
我们可以调用score来看看预测结果的值是多少
reg.score(X_test,y_test)
可以看出来，预测值高了不少，通过对比，说明使用的数据越多，对于预测值是越准的
