剑指offer 孩子们的游戏(圆圈中最后剩下的数)

题目：

（约瑟夫环）

每年六一儿童节,牛客都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF作为牛客的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数m,让编号为0的小朋友开始报数。每次喊到m-1的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续0...m-1报数....这样下去....直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到牛客名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!^_^)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？(注：小朋友的编号是从0到n-1)

如果没有小朋友，请返回-1

代码：

 1 class Solution {
 2 public:
 3     int LastRemaining_Solution(unsigned int n, unsigned int m)
 4     {
 5         if(n==0)
 6             return -1;
 7         if(n==1)
 8             return 0;
 9         else
10             return (LastRemaining_Solution(n-1,m)+m)%n;
11     }
12 };

我的笔记：

　　LastRemaining_Solution(n-1,m)+m 表示当前淘汰孩子的后继位置，再将它与 n 取余数，即可得到下一个淘汰孩子的后继位置，这样不断递归直到全部淘汰完毕。

以下详解摘抄自牛客网：https://www.nowcoder.com/profile/4566768/codeBookDetail?submissionId=13393365

如果只求最后一个报数胜利者的话，我们可以用数学归纳法解决该问题，为了讨      论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新      的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:

        k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。

现在我们把他们的编号做一下转换：

k     --> 0

k+1   --> 1

k+2   --> 2

...

...

k-2   --> n-2

k-1   --> n-1

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n。

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]。

递推公式

f[1]=0;

f[i]=(f[i-1]+m)%i;  (i>1)

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1。