实数完备性的几个定理可以互相推导，这里给出了一个比较简单的完整推导链条
对于没有写到的推导可以通过旁敲侧击推导出这里的条件再继续（迂回战术）
1. 有界必有确界
如果(exists u)使得(forall xin S)都有(xle u),那么(S)有上确界
上确界：记(U=supleft{S
ight})，则(forall xin S)都有(xle U)，且(forall epsilon>0)，(exists x_0in S)使得(x_0>U-epsilon)
用有限区间覆盖证明
(S)存在最大值的情况非常显然，它的上确界就是最大值；后文只讨论(S)不存在最大值的情况
反证法，假设(S)有界而没有上确界，记(S)上界的集合为(overline U)
则可以取(S)中的一个元素(L)，(overline U)中的一个元素(R)，得到一个闭区间(left[L,R
ight])
考虑(xin [L,R])，分成如下几种情况：
- (xinoverline U)
- (xin S)
- (x otin S)且(x otinoverline U)
对于情况1,由假设我们一定可以找到(x'inoverline U)且(x'< x)，使得(x')也是一个上界
此时我们为点(x)造一个开区间(left(x',2x-x'
ight))，这个区间内的点都是(S)的上界
对于情况2,由(S)不存在最大值可知我们一定能找到(x'in S)且(x'>x)
此时我们为点x造一个开区间(left(2x-x',x'
ight))，这个区间内的点都不是(S)的上界
对于情况3,由x不是上界可知，必存在一个(x' in S)使得 $x < x' $，此时情况同2
于是我们为闭区间内的每一个点都配了一个开区间，这个开区间的集合覆盖了闭区间内的每一个点，由有限覆盖定理可知存在有限个开区间覆盖了([L,R])
引理1:开覆盖中相邻两个开区间必相交
证明：假设存在不相交的开覆盖，则存在点未被覆盖，矛盾
由引理1可知([L,R])上的开覆盖一定是环环相套的，从左起每一个开区间内的点都不是上界，从右起每一个开区间内的点都是上界，则可以推得中间存在一个开区间同时满足这两种情况(这是不可能的)，推得矛盾。于是原命题成立
2. 单调有界收敛
若数列(left{a_n ight})单调递增且有上界，则该数列收敛(存在极限)
用确界存在证明
有上界必有上确界，记(U=supleft{a_n ight})，则根据定义有(forall nleft(Uge a_n ight))且(forall epsilon>0,exists n_0)，有(U-epsilon < a_{n_0})
又(left{a_n ight})递增，于是取(N=n_0)，当(nge N)，有(U-epsilon < a_{n_0}le a_n le U < U+epsilon)，这个就是数列收敛的定义，且恰好收敛于(U)
3. 闭区间套
考虑一个初始闭区间([L_0,R_0])，我们取一系列闭区间([L_1,R_1],[L_2,R_2],dots)满足([L_1,R_1]subset[L_2,R_2]subsetdots)
且有(limlimits_{i
ightarrow +infty}{left(R_i-L_i
ight)}=0)
则(cap{[L_i,R_i]}=xi)，收敛于一个点
用单调有界收敛证明
由第一个条件可知，(left{L_n
ight})单调递增，且有上界(R_0)，于是数列收敛
同理(left{R_n
ight})也收敛，下面证明两个极限相等。
反证法：假设左右极限不相等，则(cap[L_i,R_i]=[supleft{L_n
ight},infleft{R_n
ight}])，与条件2矛盾，故假设不成立
然后就做完了
4. 聚点
无穷项有界数列必有收敛子数列
用闭区间套证明
因为有界，必可以找到上下界，记值域区间为([L_0,R_0])
取中点(M=frac{L_0+R_0}{2})，则左右两个区间中，必存在至少一个区间包含了数列的无限项，记这个新的区间为([L_1,R_1])
重复上述过程，则我们构造出了一个闭区间套，由闭区间套定理可知这个区间会收敛到一个点(xi)上，那么每次任意取(x_iin[L_i,R_i])就可以得到一个收敛的子数列
5. 有限覆盖
考虑一个由若干开区间构成的集合(I)，若([L,R]subsetcup I)，则一定可以从(I)中取出有限个开区间覆盖整个闭区间([L,R])
用闭区间套证明
反证法：假设不能用有限个开区间覆盖([L,R])，则取(M=frac{L+R}{2})，左右两半至少有一个闭区间被无限个开区间覆盖
反复上述操作，则我们构造了一个闭区间套。且这个闭区间的长度可以任意小。而开区间集合中任意一个覆盖了(xi)的开区间长度都确定，得到矛盾，故假设不成立
6. 柯西收敛
数列收敛的充要条件是
(forall epsilon > 0)，(exists N)，(forall x,yge N)都有(|a_x-a_y|le epsilon)
可以发现这个判别法则和具体的极限无关，只关心数列本身的性质
用聚点证明
必要性比较简单，这里只证明充分性
先证明柯西数列有界。取(epsilon=1)，则(maxleft{a_1,a_2,dots,a_{N_{epsilon}},a_{N_{epsilon}}+1
ight})是数列的一个上界，下界同理
有界数列必有收敛子数列，记子数列为(a_{n_1},a_{n_2},a_{n_3},dots)，其极限为(A)，
则(forall epsilon >0), (exists K >0)，当(k> K)时(|a_{n_k}-A|le epsilon)
根据定义，取(N'=maxleft{n_K,N
ight})，令(x=N')，则(forall y> N')都有(|a_y-A|=|a_y-a_x+a_x-A|le|a_y-a_x|+|a_x-A|le2epsilon)