四元数运算[编辑]
四元数运算在电动力学与广义相对论中有广泛的应用。四元数可以用来取代张量表示。有时候采用带有复数元素之四元数会比较容易,导得结果不为除法代数之形式。然而亦可结合共轭运算以达到相同的运算结果。
此处仅讨论具有实数元素之四元数,并将以两种形式来描述四元数。其中一种是向量与标量的结合,另一形式两个创建量(constructor)与双向量(bivector;i、j与k)的结合。
定义两个四元数:
其中表示矢量<b, c, d>,而
表示矢量<x, y, z>.
加、乘和一般函数[编辑]
- 四元数乘法:pq
- 两个四元数之间的非可换乘积通常被称为格拉斯曼积,这个积上面已经简单介绍过,它的完整型态是:
由于四元数乘法的非可换性,pq并不等于qp。格拉斯曼积常用在描述许多其他代数函数。qp乘积的向量部分是:
这个积对于从四元数分离出一个元素有用。例如,i项可以从p中这样提出来:
- 四元数外积:Outer(p,q)
欧几里得外积并不常用; 然而因为外积和内积的格拉斯曼积形式的相似性.它们总是一同被提及:
- 四元数偶积:Even(p,q)
四元数偶积也不常用,但是它也会被提到,因为它和奇积的相似性。它是纯对称的积;因此,它是完全可交换的。
- 四元数叉积:p × q
四元数叉积也称为奇积。它和向量叉积等价,并且只返回一个向量值:
- 四元数的逆:p−1
四元数的逆通过p−1p = 1被定义。 它定义在上面的定义一节,位于属性之下(注意变量记法的差异)。其建构方式相同于复倒数(complex inverse)之构造:
一个四元数的自身点积是个标量。四元数除以一个标量等效于乘上此标量的倒数,而使四元数的每个元素皆除以此一除数。
- 四元数除法:p−1q
四元数的不可换性导致了 p−1q 和 qp−1的不同。 这意味着除非p是一个标量,否则不能使用q/p这一符号。
- 四元数标量部:Scalar(p)
四元数的标量部分可以用前面所述的点积来分离出来:
- 四元数向量部:Vector(p)
四元数的向量部分可以用外积提取出来,就象用点积分离标量那样:
- 四元数模:|p|
四元数的绝对值是四元数到原点的距离。
- 四元数符号数:sgn(p)
一复数之符号数乃得出单位圆上,一个方向与原复数相同之复数。四元数的符号数亦产生单位四元数:
- 四元数辐角:arg(p)
辐角函数可找出一4-向量四元数偏离单位标量(即:1)之角度。此函数输出一个标量角度。