1 $m=lg(n),l=n-m=n-lg(n)$
2 (1)$x=n.5$时向上取整：$left lfloor x+0.5 ight floor$
(2)$x=n.5$时向下取整：$left lceil x-0.5 ight ceil$
3 $left lfloor frac{left lfloor malpha ight floor n}{alpha} ight floor$
$=left lfloor frac{(malpha - left { malpha ight })n}{alpha} ight floor$
$=left lfloor mn-frac{left { malpha ight }n}{alpha} ight floor=mn-1$
其中$0<left { malpha ight }<1$
4 给定的真命题或者假命题。比如$2+3=5$，或者$3 eq 4$
5 将$x=left lfloor x ight floor+left { x ight }$代入：
右侧=$left lfloor nleft lfloor x ight floor+nleft { x ight } ight floor=nleft lfloor x ight floor+left lfloor nleft { x ight } ight floor$
左侧=$nleft lfloor left lfloor x ight floor +left { x ight } ight floor=nleft lfloor x ight floor$
所以$left lfloor nleft { x ight } ight floor=0$，所以$left { x ight }<frac{1}{n}$
6 $left lfloor f(x) ight floor=left lfloor f(left lceil x ight ceil) ight floor$
$left lceil f(x) ight ceil=left lceil f(left lfloor x ight floor) ight ceil$
7 $n$%$m+left lfloor frac{n}{m} ight floor$
8 (1)假设都小于$left lceil frac{n}{m} ight ceil$，那么有$nleq (left lceil frac{n}{m} ight ceil-1)m$，即$frac{n}{m}+1leq left lceil frac{n}{m} ight ceil$，这个式子恒不成立。
（2）假设都大于$left lfloor frac{n}{m} ight floor$,那么有$ngeq (left lfloor frac{n}{m} ight floor+1)m$,即$frac{n}{m}-1geq left lfloor frac{n}{m} ight floor$,这个式子恒不成立。
9 如果$n$%$m$=0，则显然成立。
否则，令$n=m(q-1)+t,0<t<m$,那么有$frac{m}{n}-frac{1}{q}=frac{m-t}{nq}$,可以看到分子严格减少1.
10 令$0leq p<1$。分两种情况考虑：
（1）$x=2k+1+p$,此时可以得到：如果$p<0.5$，那么答案为$2k+1$,否则为$2k+2$
（2）$x=2k+p$,此时可以得到：如果$pleq0.5$，那么答案为$2k$,否则为$2k+1$
综上所述:如果$xin(2k+0.5,2k+1.5)$，答案为$2k+1$,否则$xin[2k-0.5,2k+0.5]$，答案为$2k$
11 $alpha < n < eta leftrightarrow left lfloor alpha ight floor < n < left lceil eta ight ceil$.当$a,b$为整数时，满足$a<n<b$的$n$的个数为$(b-a-1)[a<b]$.所以当$alpha=eta=$整数时不成立。
12 令$n=km+t,0leq t<m$,当$t=0$时显然成立。否则$left lceil frac{n}{m} ight ceil=k+1$,$left lfloor frac{n+m-1}{m} ight floor=k+left lfloor frac{t+m-1}{m} ight floor=k+1$
13(1)由后面向前证明比较简单，即若$frac{1}{alpha}+frac{1}{eta}=1$且都为无理数，那么构成一个划分。
（2）由前向后证明：首先$alpha,eta$为有理数是必然是不行的，因为那样的话必然会存在两个整数$n_{1},n_{2}$使得$n_{1}alpha=n_{2}eta$.所以只需要讨论$frac{n+1}{alpha}+frac{n+1}{eta}-left { frac{n+1}{alpha} ight }-left { frac{n+1}{eta} ight }=n$是否在$frac{1}{alpha}+frac{1}{eta} eq1$的时候成立。
假设$frac{1}{alpha}+frac{1}{eta}=0.999$，那么当$n$足够大比如 $n=100000$,这个等式必然不成立；
假设$frac{1}{alpha}+frac{1}{eta}==1.001$，那么当$n$足够大比如 $n=100000$,这个等式必然也不成立。
所以假设失败。
14 首先，如果$ny=0$时显然成立。
否则，$((x)mod(ny))mod(y)=(x-nyleft lfloor frac{x}{ny} ight floor)mod(y)=(x)mod(y)$
所以恒成立。
15 $left lceil mx ight ceil=sum_{i=0}^{m-1}left lceil x-frac{i}{m} ight ceil$