详解最大似然估计（MLE）、最大后验概率估计（MAP），以及贝叶斯公式的理解（转）

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本文作者: nebulaf91
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频率学派与贝叶斯派

在说极大似然估计（Maximum Likelihood Estimate）与最大后验概率估计（Maximum A Posteriori estimation）之前，不得不说对于概率看法不同的两大派别频率学派与贝叶斯派。他们看待世界的视角不同，导致他们对于产生数据的模型参数的理解也不同。

① 频率学派

他们认为世界是确定的。他们直接为事件本身建模，也就是说事件在多次重复实验中趋于一个稳定的值p，那么这个值就是该事件的概率。

他们认为模型参数是个定值，希望通过类似解方程组的方式从数据中求得该未知数。这就是频率学派使用的参数估计方法-极大似然估计（MLE），这种方法往往在大数据量的情况下可以很好的还原模型的真实情况。

② 贝叶斯派

他们认为世界是不确定的，因获取的信息不同而异。假设对世界先有一个预先的估计，然后通过获取的信息来不断调整之前的预估计。他们不试图对事件本身进行建模，而是从旁观者的角度来说。因此对于同一个事件，不同的人掌握的先验不同的话，那么他们所认为的事件状态也会不同。

他们认为模型参数源自某种潜在分布，希望从数据中推知该分布。对于数据的观测方式不同或者假设不同，那么推知的该参数也会因此而存在差异。这就是贝叶斯派视角下用来估计参数的常用方法-最大后验概率估计（MAP），这种方法在先验假设比较靠谱的情况下效果显著，随着数据量的增加，先验假设对于模型参数的主导作用会逐渐削弱，相反真实的数据样例会大大占据有利地位。极端情况下，比如把先验假设去掉，或者假设先验满足均匀分布的话，那她和极大似然估计就如出一辙了。

最大似然估计（MLE）和最大后验概率估计（MAP）

最大似然估计（Maximum likelihood estimation, 简称MLE）和最大后验概率估计（Maximum a posteriori estimation, 简称MAP）是很常用的两种参数估计方法，如果不理解这两种方法的思路，很容易弄混它们。下文将详细说明MLE和MAP的思路与区别。

但别急，我们先从概率和统计的区别讲起。

概率和统计是一个东西吗？
概率（probabilty）和统计（statistics）看似两个相近的概念，其实研究的问题刚好相反。

概率研究的问题是，已知一个模型和参数，怎么去预测这个模型产生的结果的特性（例如均值，方差，协方差等等）。举个例子，我想研究怎么养猪（模型是猪），我选好了想养的品种、喂养方式、猪棚的设计等等（选择参数），我想知道我养出来的猪大概能有多肥，肉质怎么样（预测结果）。

统计研究的问题则相反。统计是，有一堆数据，要利用这堆数据去预测模型和参数。仍以猪为例。现在我买到了一堆肉，通过观察和判断，我确定这是猪肉（这就确定了模型。在实际研究中，也是通过观察数据推测模型是／像高斯分布的、指数分布的、拉普拉斯分布的等等），然后，可以进一步研究，判定这猪的品种、这是圈养猪还是跑山猪还是网易猪，等等（推测模型参数）。

一句话总结：概率是已知模型和参数，推数据。统计是已知数据，推模型和参数。

显然，本文解释的MLE和MAP都是统计领域的问题。它们都是用来推测参数的方法。为什么会存在着两种不同方法呢？这需要理解贝叶斯思想。我们来看看贝叶斯公式。

贝叶斯公式到底在说什么？
学习机器学习和模式识别的人一定都听过贝叶斯公式(Bayes’ Theorem)：

P(A|B)=P(B|A)P(A) / P(B)【式1】

贝叶斯公式看起来很简单，无非是倒了倒条件概率和联合概率的公式。

把B展开，可以写成：

P(A|B)=P(B|A)P(A) / (P(B|A)P(A)+P(B|∼A)P(∼A))【式2】（∼A表示”非A”）

这个式子就很有意思了。

想想这个情况。一辆汽车（或者电瓶车）的警报响了，你通常是什么反应？有小偷？撞车了？不。。你通常什么反应都没有。因为汽车警报响一响实在是太正常了！每天都要发生好多次。本来，汽车警报设置的功能是，出现了异常情况，需要人关注。然而，由于虚警实在是太多，人们渐渐不相信警报的功能了。

贝叶斯公式就是在描述，你有多大把握能相信一件证据？（how much you can trust the evidence）

我们假设响警报的目的就是想说汽车被砸了。把A计作“汽车被砸了”，B计作“警报响了”，带进贝叶斯公式里看。我们想求等式左边发生A|B的概率，这是在说警报响了，汽车也确实被砸了。汽车被砸引起（trigger）警报响，即B|A。但是，也有可能是汽车被小孩子皮球踢了一下、被行人碰了一下等其他原因（统统计作∼A），其他原因引起汽车警报响了，即B|∼A。那么，现在突然听见警报响了，这时汽车已经被砸了的概率是多少呢（这即是说，警报响这个证据有了，多大把握能相信它确实是在报警说汽车被砸了）？想一想，应当这样来计算。用警报响起、汽车也被砸了这事件的数量，除以响警报事件的数量（这即【式1】）。进一步展开，即警报响起、汽车也被砸了的事件的数量，除以警报响起、汽车被砸了的事件数量加上警报响起、汽车没被砸的事件数量（这即【式2】）。

可能有点绕，请稍稍想一想。

再思考【式2】。想让P(A|B)=1，即警报响了，汽车一定被砸了，该怎么做呢？让P(B|∼A)P(∼A)=0即可。很容易想清楚，假若让P(∼A)=0，即杜绝了汽车被球踢、被行人碰到等等其他所有情况，那自然，警报响了，只剩下一种可能——汽车被砸了。这即是提高了响警报这个证据的说服力。

从这个角度总结贝叶斯公式：做判断的时候，要考虑所有的因素。 老板骂你，不一定是你把什么工作搞砸了，可能只是他今天出门前和太太吵了一架。

从这个角度思考贝叶斯公式：一个本来就难以发生的事情，就算出现某个证据和他强烈相关，也要谨慎。证据很可能来自别的虽然不是很相关，但发生概率较高的事情。发现刚才写的代码编译报错，可是我今天状态特别好，这语言我也很熟悉，犯错的概率很低。因此觉得是编译器出错了。 ————别，还是先再检查下自己的代码吧。

好了好了，说了这么多，下面言归正传，说一说MLE。

——————不行，还得先说似然函数（likelihood function）

似然函数
似然（likelihood）这个词其实和概率（probability）是差不多的意思，Colins字典这么解释：The likelihood of something happening is how likely it is to happen. 你把likelihood换成probability，这解释也读得通。但是在统计里面，似然函数和概率函数却是两个不同的概念（其实也很相近就是了）。

对于这个函数：P(x|θ)

输入有两个：x表示某一个具体的数据；θ表示模型的参数。

如果θ是已知确定的，x是变量，这个函数叫做概率函数(probability function)，它描述对于不同的样本点x，其出现概率是多少。

如果x是已知确定的，θ是变量，这个函数叫做似然函数(likelihood function), 它描述对于不同的模型参数，出现x这个样本点的概率是多少。

这有点像“一菜两吃”的意思。其实这样的形式我们以前也不是没遇到过。例如，f(x,y)=x^y, 即x的y次方。如果x是已知确定的(例如x=2)，这就是f(y)=2^y, 这是指数函数。如果y是已知确定的(例如y=2)，这就是f(x)=x^2，这是二次函数。同一个数学形式，从不同的变量角度观察，可以有不同的名字。

这么说应该清楚了吧？如果还没讲清楚，别急，下文会有具体例子。

现在真要先讲讲MLE了。。

最大似然估计（MLE）
假设有一个造币厂生产某种硬币，现在我们拿到了一枚这种硬币，想试试这硬币是不是均匀的。即想知道抛这枚硬币，正反面出现的概率（记为θ）各是多少？

这是一个统计问题，回想一下，解决统计问题需要什么？数据！

于是我们拿这枚硬币抛了10次，得到的数据（x0）是：反正正正正反正正正反。我们想求的正面概率θ是模型参数，而抛硬币模型我们可以假设是二项分布。

那么，出现实验结果x0（即反正正正正反正正正反）的似然函数是多少呢？

f(x0,θ)=(1−θ)×θ×θ×θ×θ×(1−θ)×θ×θ×θ×(1−θ)=θ^7(1−θ)^3=f(θ)
注意，这是个只关于θ的函数。而最大似然估计，顾名思义，就是要最大化这个函数。我们可以画出f(θ)的图像：

可以看出，在θ=0.7时，似然函数取得最大值。

这样，我们已经完成了对θ的最大似然估计。即，抛10次硬币，发现7次硬币正面向上，最大似然估计认为正面向上的概率是0.7。（ummm..这非常直观合理，对吧？）

且慢，一些人可能会说，硬币一般都是均匀的啊！就算你做实验发现结果是“反正正正正反正正正反”，我也不信θ=0.7。

这里就包含了贝叶斯学派的思想了——要考虑先验概率。为此，引入了最大后验概率估计。

最大后验概率估计
最大似然估计是求参数θ, 使似然函数P(x0|θ)最大。最大后验概率估计则是想求θ使P(x0|θ)P(θ)最大。求得的θ不单单让似然函数大，θ自己出现的先验概率也得大。（这有点像正则化里加惩罚项的思想，不过正则化里是利用加法，而MAP里是利用乘法）

根据贝叶斯理论：

$p(\theta|X)=\frac{p(\theta)p(X|\theta)}{p(X)}$

这就是参数 $heta$ 关于已有数据集合 $X$ 的后验概率，要使得这个后验概率最大，和极大似然估计一样，这里需要对后验概率函数求导。由于分母中的 $p(X)$ 相对于 $heta$ 是独立的，所以可以直接忽略掉 $p(X)$ 。

$\hat{\theta}_{MAP}=arg\max_{\theta}p(\theta|X)=arg\max_{\theta}p(\theta)p(X|\theta)$

为了得到参数 $heta$ ，和MLE一样，需要对 $p( heta|X)$ 求梯度，并使其等于0：

$\frac{p(\theta|X)}{\partial\theta}= \frac{p(\theta)p(X|\theta)}{\partial\theta}=0$

注意：

这里一定要注意，在MLE中，参数 $heta$ 是一个定值，只是这个值未知，最大似然函数是 $heta$ 的函数，这里 $heta$ 是没有概率意义的。但是，在MAP中， $heta$ 是有概率意义的， $heta$ 有自己的分布，而这个分布函数，需要通过已有的样本集合 $X$ 得到，即最大后验估计需要计算的是 $p( heta|X)$ 。虽然从公式上来看 $MAP=MLE*p( heta)$ ，但是这两种算法有本质的区别，MLE将 $heta$ 视为一个确定未知的值，而MAP则将 $heta$ 视为一个随机变量。

对于投硬币的例子来看，我们认为（”先验地知道“）θ取0.5的概率很大，取其他值的概率小一些。我们用一个高斯分布来具体描述我们掌握的这个先验知识，例如假设P(θ)为均值0.5，方差0.1的高斯函数，如下图：

则 $P (x_{0} | θ) P (θ)$

$P (x_{0} | θ) P (θ)$

注意，此时函数取最大值时，θ取值已向左偏移，不再是0.7。实际上，在θ=0.558时函数取得了最大值。即，用最大后验概率估计，得到θ=0.558。

最后，那要怎样才能说服一个贝叶斯派相信θ=0.7呢？你得多做点实验。。

如果做了1000次实验，其中700次都是正面向上，这时似然函数为:

如果仍然假设 $P (θ)$

在θ=0.696处，P(x0|θ)P(θ))取得最大值。

这样，就算一个考虑了先验概率的贝叶斯派，也不得不承认得把θ估计在0.7附近了。

PS. 要是遇上了顽固的贝叶斯派，认为P(θ=0.5)=1，那就没得玩了。。无论怎么做实验，使用MAP估计出来都是θ=0.5。这也说明，一个合理的先验概率假设是很重要的。（通常，先验概率能从数据中直接分析得到）

最大似然估计和最大后验概率估计的区别
相信读完上文，MLE和MAP的区别应该是很清楚的了。MAP就是多个作为因子的先验概率P(θ)。或者，也可以反过来，认为MLE是把先验概率P(θ)认为等于1，即认为θ是均匀分布。
在MAP中， $p( heta)$ 称为 $heta$ 的先验，假设其服从均匀分布，即对于所有 $heta$ 取值， $p( heta)$ 都是同一个常量，则MAP和MLE会得到相同的结果。当然了，如果 $p( heta)$ 的方差非常的小，也就是说， $p( heta)$ 是近似均匀分布的话，MAP和ML的结果自然也会非常的相似。

MLE与MAP的联系

注意：这里 $p(X| heta)$ 和极大似然估计中的似然函数 $p(X; heta)$ 是一样的，只是记法不一样。

参考：

链接：https://www.jianshu.com/p/f9d56aeab75e

链接：https://blog.csdn.net/u011508640/article/details/72815981

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