后缀数组资料

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后缀数组是字符串处理的一个重要工具。它由原字符串的所有后缀的字典排序而得，具有较高的检索效率。

基本概念

一、字符串的大小比较：关于字符串的大小比较，是指通常所说的 “ 字典顺序 ” 比较，也就是对于两个字符串 u 、v ，令 i 从 1 开始顺次比较 u[i] 和 v[i] ，如果u[i]=v[i] 则令 i 加 1 ，否则若 u[i]<v[i] 则认为 u<v ，u[i]>v[i] 则认为 u>v，比较结束。如果 i>len(u) 或者 i>len(v) 仍比较不出结果，那么若 len(u)<len(v)则认为 u<v ，若 len(u)=len(v) 则认为 u=v ，若 len(u)>len(v) 则 u>v 。

 注：从字符串的大小比较的定义看，字符串s的所有后缀中任其中一对(u,v)不可能会相等，因为必要条件 len(u) ≠ len(v)不可能满足。所以任一字符串s中有len(s)个互不相同的后缀。我们可以将s的所有后缀排列，利用 后缀数组sa 与 名次数组rank 储存。

二、后缀数组sa：将s的n个后缀从小到大排序后将排序后的后缀的开头位置 顺次放入sa中，则sa[i]储存的是排第i大的后缀的开头位置。简单的记忆就是“排第几的是谁”。

三、名次数组rank：rank[i]保存的是suffix(i)｛后缀｝在所有后缀中从小到大排列的名次。则若 sa[i]=j，则 rank[j]=i。简单的记忆就是“你排第几”。

对于后缀数组sa 与名次数组rank ，有

rank[ sa[i] ]=i （这是很重要的一点，通过sa与rank的关系可以求出后缀数组）

由此可看出，后缀数组sa 与名次数组rank的关系为互逆关系。

字符串aabaaaab的sa数组与rank数组

[编辑]倍增算法

一、主要思路：倍增，s[ $i .. i + 2 k - 1$ ]的排名通过s[ $i .. i + 2 k - 1 - 1$ ]和s[ $i + 2 k - 1 .. i + 2 k - 1$ ]的排名得到。

二、简要过程：已知每个长度为 $2 k - 1$ 的字符串的排名，则可作为每个长度为 $2 k$ 的字符串求排名的关键字xy，s[ $i .. i + 2 k - 1$ ]第一关键字x为s[ $i .. i + 2 k - 1 - 1$ ]的排名，第二关键字y为s[ $i + 2 k - 1 .. i + 2 k - 1$ ]的排名。以字符串aabaaaab为例：

k=0,对每个字符开始的长度为 $20 = 1$ 的子串进行排序，得到rank[1..8]={1,1,2,1,1,1,1,2}
k=1,对每个字符开始的长度为 $21 = 2$ 的子串进行排序：由k=0的rank得关键字xy[1..8]={11,12,21,11,11,11,12,20}，得到rank[1..8]={1,2,4,1,1,1,2,3}
k=2,对每个字符开始的长度为 $22 = 4$ 的子串进行排序：由k=1的rank得关键字xy[1..8]={14,21,41,11,12,13,20,30}，得到rank[1..8]={4,6,8,1,2,3,5,7}
k=3,对每个字符开始的长度为 $23 = 8$ 的子串进行排序：由k=2的rank得关键字xy[1..8]={42,63,85,17,20,30,50,70}，得到rank[1..8]={4,6,8,1,2,3,5,7}

注意：在排序过程中，rank[]可以有相同排名，但是sa[]排第几是没有相同的（就像Excel的排序，sa相当于编号，rank相当于排名）。这点可以从程序中体现。建议读者跟踪一下程序体会一下。

整个过程如图：

倍增算法的计算过程

三、时间复杂度分析：每一趟的计数排序的时间复杂度是O(n)，排序的次数共log n次，总的时间复杂度为O(n log n)。

算法代码如下：
void sorting(int j)//基数排序
{
	memset(sum,0,sizeof(sum));
	for (int i=1; i<=s.size(); i++) sum[ rank[i+j] ]++;
	for (int i=1; i<=maxlen; i++) sum[i]+=sum[i-1];
	for (int i=s.size(); i>0; i--) tsa[ sum[ rank[i+j] ]-- ]=i;//对第二关键字计数排序，tsa代替sa为排名为i的后缀是tsa[i] 

	memset(sum,0,sizeof(sum));
	for (int i=1; i<=s.size(); i++) sum[ rank[i] ]++;
	for (int i=1; i<=maxlen; i++) sum[i]+=sum[i-1];
	for (int i=s.size(); i>0; i--) sa[ sum[ rank[ tsa[i] ] ]-- ]= tsa[i]; //对第一关键字计数排序
	//构造互逆关系 
}

void get_sa()
{
	int p;
	for (int i=0; i<s.size(); i++) trank[i+1]=s[i];
	for (int i=1; i<=s.size(); i++) sum[ trank[i] ]++;
	for (int i=1; i<=maxlen; i++) sum[i]+=sum[i-1];
	for (int i=s.size(); i>0; i--) 
		sa[ sum[ trank[i] ]-- ]=i;
	rank[ sa[1] ]=1;
	for (int i=2,p=1; i<=s.size(); i++)
	{
		if (trank[ sa[i] ]!=trank[ sa[i-1] ]) p++;
		rank[ sa[i] ]=p;
	}//第一次的sa与rank构造完成
	for (int j=1; j<=s.size(); j*=2)
	{
		sorting(j);
		trank[ sa[1] ]=1; p=1; //用trank代替rank 
		for (int i=2; i<=s.size(); i++)
		{
			if ((rank[ sa[i] ]!=rank[ sa[i-1] ]) || (rank[ sa[i]+j ]!=rank[ sa[i-1]+j ])) p++;
			trank[ sa[i] ]=p;//空间要开大一点，至少2倍
		}
		for (int i=1; i<=s.size(); i++) rank[i]=trank[i];
	}
}

最长公共前缀

求出了rank和sa数组还不够，通常我们需要由rank与sa数组计算出一个辅助工具height数组——最长公共前缀(LCP)。

height 数组：定义height[i]=suffix(sa[i-1]) 和 suffix(sa[i]) 的最长公共前缀，也就是排名相邻的两个后缀的最长公共前缀。

由height数组可得，对于j和k ，不妨设rank[j]<rank[k], 则有以下性质：suffix(j) 和 suffix(k) 的最长公共前缀为 height[rank[j]+1],height[rank[j]+2], height[rank[j]+3], … ,height[rank[k]] 中的最小值。

以"aabaaaab"为例，求后缀"abaaaab"和后缀"aaab"的最长公共前缀，如图，可见其最长公共前缀等于1。

计算后缀"abaaaab"和后缀"aaab"的最长公共前缀

所以说，计算最长公共前缀是一个典型的RMQ问题。

如果直接按照sa的顺序一个一个求解，每一次比较最坏的时间复杂度是O(len(s))，一共要比较len(s)次，所以时间复杂度是 $O (l e n (s) 2)$ 。这样求height数组是非常慢的，而且没有用到之前所说height数组的性质。

那么，如何高效地计算后缀间的最长公共前缀呢？

当然是使用之前所说的性质。定义h[i]为suffix(i)和前一名次后缀的最长公共前缀{sa[ rank[ i ]-1 ]}。由性质可得，

$h[i] ge h[i-1]-1$

。

 简单的证明如下：设suffix(k)是排在suffix(i-1)前一位的后缀，则它们的最长公共前缀显然是h[i-1]。那么，suffix(k+1)显然将排在suffix(i)的前面。并且，suffix(k+1)&suffix(i) 相对于 suffix(k)&suffix(i-1)来说就是同时去掉了第一位，即少了一位的匹配数。所以suffix(i)和前一名次后缀的最长公共前缀至少是h[i-1]-1。

显然，我们可以按照h数组的顺序计算height。时间复杂度分析：求一次height后位数-1，一共有len(s)个后缀，所以只能退len(s)次，也就是说，求解的时间复杂度是O(len(s))。

算法代码如下：
void get_height()
{
	for (int i=1,j=0; i<=s.size(); i++)//用j代替上面的h数组
	{
		if (rank[i]==1) continue;
		for (; s[i+j-1]==s[ sa[ rank[i]-1 ]+j-1 ]; ) j++;//注意越界之类的问题 
		height[ rank[i] ]=j;
		if (j>0) j--;
	}
}

[编辑]构造后缀树

利用最长公共前缀数组（lcp数组），使用一个栈就可以构造出相应的后缀树。

[编辑]后缀数组的应用

先提出后缀数组的几种常用技巧：

建议多找找与height数组的关联。
将几个字符串贴在一起，用特殊符号间隔开：如aab与aaab，可合并成aab$aaab。
二分+分组（思想）的方法：枚举出答案后，就能将合法的情况划分到一个组判断。

以下列举出几个后缀数组的应用供大家思考，也可在讨论页讨论。

求两个后缀的最长公共前缀
求字符串的可重叠的最长重复子串：如ababa可重叠的最长重复子串是aba
求字符串的不可重叠的最长重复子串：如ababa不可重叠的最长重复子串是ab [提示：想想建议3]
计算不相同子串的个数：如aaaa的不相同子串数是4
计算最长回文子串：如aabaaaab的最长回文子串是6(baaaab)。[提示：想想建议2]
求两个字符串的最长公共子串：如aaba与abac的最长公共子串是aba。