蓝桥---数的划分（DFS、DP）

https://www.luogu.com.cn/problem/P1025

题目描述

将整数

例如：

问有多少种不同的分法。

输入格式

输出格式

输入输出样例

输入

7 3

输出

说明/提示

四种分法为：

解法一（DFS）：

DFS算是比较容易想到的，但需要剪枝。

void DFS(int sum,int step,int k)

k 表示上一份分了多少个，这次就从k个开始分，sum表示到目前为止一共分了多少个，step表示到目前为止一共分了多少份。

由于方案数不能相同，所以枚举的个数要保持递增(或递减)，我们可以进行重复性剪枝，记录k（上一份分了多少个），这次就从k个开始分起。

同时我们还要进行可行性剪枝，每次只要i从k枚举到i*(m - step) <= n-sum 就可以了。

因为下一份分的值不能比当前的i小，假设以后每份都分i，那么如果i*(m - step) > n-sum，则说明剩余的值不够分了，当前的i就不可行了，不需要继续DFS了。

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <string.h>
 3 #include <iostream>
 4 #include <string>
 5 #include <math.h>
 6 #include <algorithm>
 7 #include <vector>
 8 #include <stack>
 9 #include <queue>
10 #include <set>
11 #include <map>
12 #include <sstream>
13 const int INF=0x3f3f3f3f;
14 typedef long long LL;
15 const int mod=1e9+7;
16 const int maxn=1e4+10;
17 using namespace std;
18 
19 int n,m;
20 int ans;
21 
22 void DFS(int sum,int step,int k)//k表示上一份分到了多少个,重复性剪枝 
23 {
24     if(step==m)
25     {
26         if(sum==n) ans++;
27         return ;
28     }
29     for(int i=k;i*(m-step)<=n-sum;i++)//可行性剪枝 
30         DFS(sum+i,step+1,i);
31 }
32 
33 int main()
34 {
35     #ifdef DEBUG
36     freopen("sample.txt","r",stdin);
37     #endif
38     
39     scanf("%d %d",&n,&m);
40     DFS(0,0,1);
41     printf("%d
",ans);
42     
43     return 0;
44 }

解法二（DP）：

dp[ i ][ j ]表示将整数 i 划分为 j 份的方案数。

首先，如果拿到一个整数 i ，因为题目中要求每份不能为空，因此必须先拿出 j 个数位将 j 份分别放上1，此时剩下 i - j个数。

那么剩下的数如何处理呢？可以将其全部分到一份当中（dp[ i-j ][1]），也可以分到两份中(dp[ i-j ][2])，...，也可以分到 j 份中(dp[ i-j ][ j ])，将每一种分法全部加起来，和即为dp[ i ][ j ]。

不过这个式子看起来并不简洁，为了求得一个简洁的式子，我们再求一个dp[i-1][j-1]，

比较上面两个式子可得，

上式对应两种情况：

1.有一份只分了一个1，剩下的 i-1 要分成 j-1 份，对应dp[ i-1 ][ j-1 ]。
2.每一份的值都大于1，也就是先在j份中，每一份都放一个1，然后还剩下 i-j 个，再把这 i-j 个再分给这 j 份,对应dp[ i-j ][ j ]。（此时 i 必须大于 j )

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <string.h>
 3 #include <iostream>
 4 #include <string>
 5 #include <math.h>
 6 #include <algorithm>
 7 #include <vector>
 8 #include <stack>
 9 #include <queue>
10 #include <set>
11 #include <map>
12 #include <sstream>
13 const int INF=0x3f3f3f3f;
14 typedef long long LL;
15 const int mod=1e9+7;
16 const int maxn=1e4+10;
17 using namespace std;
18 
19 int dp[205][10];
20 
21 int main()
22 {
23     #ifdef DEBUG
24     freopen("sample.txt","r",stdin);
25     #endif
26     
27     int n,m;
28     scanf("%d %d",&n,&m);
29     for(int i=1;i<=n;i++)
30     {
31         dp[i][1]=1;
32         for(int j=2;j<=m;j++)
33         {
34             if(i==j) dp[i][j]=1;
35             else if(i>j) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-j][j];
36         }
37     }
38     printf("%d
",dp[n][m]);
39     
40     return 0;
41 }