推荐系统中的矩阵分解演变方式

1. 基本矩阵分解

矩阵分解方法会将用户和物品映射到 $f$ 维的隐向量空间, 用户对物品的评分表示为两个向量的内积. 亦即, 每一个物品 $i$ 表示为向量 $q_iinmathbb{R}^f$ , 每一个用户表示成向量 $p_uinmathbb{R}^f$ . 对于物品 $i$ , 向量 $q_i$ 的元素表示的是物品 $i$ 具有这些隐因子的程度, 对于用户 $u$ , 向量 $p_u$ 表示的是用户对各个隐因子的兴趣, 元素的值可正可负. 两个向量的内积

$hat{r_{ui}}=q_i^Tp_u ag{1}$

表示的就是预计的用户对物品的评分. 所以基本的挑战就是计算用户和物品到隐向量的映射.

最简单的就是神秘值分解(Singular value decomposition, SVD), 使用SVD须要分解用户物品评分矩阵, 可是通常该矩阵中有非常多值是缺失的, 这样的情况下的SVD是不可行的. 另外, 仅仅处理已知的这些评分easy导致过拟合. 能够通过填充数据来使得矩阵变得稠密, 可是填充数据的准确性非常是问题.

最主流的做法是仅仅对那些已观測到的评分进行建模, 而且通过使用正则化项来避免过拟合, 亦即求解下面问题:

$min_{q, p}sum_{(u,i)inmathcal{k}}(r_{ui}-q_i^Tp_u)^2 + lambda(|p_u|^2 + |q_i|^2) ag{2}$

当中 $mathcal{k}$ 是所以已知评分的用户-物品对, $lambda$ 控制着正则化的程度.

2. 学习算法

两种经常使用的求解上式的算法为随机梯度下降(SGD)和ALS(Alternating Least Square).

2.1 随机梯度下降

对于每一个用户-物品评分, 计算预測误差

$e_{ui} = r_{ui} - q_i^Tp_u$

然后依照梯度下降的方向更新用户和物品的隐向量:

$q_i leftarrow q_i + gammacdot(e_{ui}cdotp_{u}-lambdacdot q_i)$

$p_u leftarrow p_u + gammacdot(e_{ui}cdot q_{i}-lambdacdotp_u)$

2.2 ALS(Alternating Least Square)

由于 $p_u$ 和 $q_i$ 都是未知的, 所以公式2不是凸的. 可是, 当我们固定当中一个变量, 则2式变成一个二次函数, 可以被最优的求解. 所以ALS算法的思想就是交替的固定 $p_u$ 和 $q_i$ , 然后求解另外一个变量的二次函数的最优值.

通常SGD都会比ALS要简单并且高速, 可是ALS的并行性比較好, 并且能够较好地处理稀疏数据(?).

3. 加入偏置项

矩阵分解方法的一个优点就是能够灵活的加入很多面向应用的要求. 比方, 通常来说, 不同用户的评分倾向不同, 用的用户的打分普遍较高, 有的普遍较低, 物品亦然. 所以只使用用户和物品之间的交互 $q_i^Tp_u$ 来对评分进行建模不是非常好, 还须要加上一些偏置项. 一种一阶偏置项近似为:

$b_{ui}=mu+b_i+b_u$

当中 $mu$ 描写叙述的是全部评分的平均值, $b_u, b_i$ 描写叙述的是用户和物品相对于 $mu$ 的偏差.

评分模型为:

$hat{r_{ui}}=mu + b_i | b_u + q_i^Tp_u$

转化为最优化问题为:

$min_{pcdot,qcdot,bcdot}sum_{(u,i)inmathcal{k}}(r_{ui}-mu-b_u-b_i-p_u^Tq_i)^2 + lambda(|p_u|^2 + |q_i|^2 +b_u^2+ b_i^2)$

4. 其它的输入源

当解决冷启动问题时, 用户的评分信息非常少, 这时候就须要使用用户的其它输入信息, 比方用户隐式反馈(浏览, 购买历史等). 令 $N(u)$ 表示用户有隐反馈的物品. 系统能够通过这些物品来对用户建模, 亦即把每一个物品表示成一个隐向量 $x_iinmathbb{R}^f$ , 则用户能够通过下式来描写叙述:

$sum_{iin N(u)}x_i$

能够对上式进行正则化:

$|N(u)|^{-0.5}sum_{iin N(u)}x_i$

也能够使用用户的一些其它属性(性别, 年龄, 收入等)来对用户建模, 令 $A_u$ 表示用户的一些布尔属性,则隐向量 $y_{a}inmathbb{R}^f$ 表示用户的某个属性, 用户的全部属性能够通过下式来描写叙述:

$sum_{ain A(u)}y_a$

用户对物品的评分能够表示为:

$hat{r_{ui}}=mu + b_i | b_u + q_i^T[p_u + |N(u)|^{-0.5}sum_{iin N(u)}x_i +sum_{ain A(u)}y_a]$

5. 时间因素

到如今为止, 模型是静态的, 可是实际中物品的流行程度会随着时间变化, 用户的评分倾向也会变化, 用户的隐向量也会随时间变化. 所以能够将这些变量表示成时间的函数来更好地描写叙述这些现象:

$hat{r}_{ui}=mu + b_i(t) + b_u(t) + q_i^Tp_u(t)$

6. 不同可信度的输入源

不同的评分的可信度不同. 比方广告会影响某个物品的评分, 另外, 有些作弊的用户会对某些物品恶意的打高分或者低分. 另外, 在使用隐式反馈时, 能够使用某些行为(比方浏览)等得次数来表示用户喜欢某个物品的程度. 能够通过为某个评分 $r_{ui}$ 设置权重 $c_{ui}$ 来解决上述问题:

$min_{pcdot,qcdot,bcdot}sum_{(u,i)inmathcal{k}}(c_{ui}(r_{ui}-mu-b_u-b_i-p_u^Tq_i)^2 + lambda(|p_u|^2 + |q_i|^2 +b_u^2+ b_i^2)$

參考文献:

[1]. Yuhuda Koren, Robert Bell and Chris Volinsky. Matrix Factorization Techniques for Recommender Systems.