动态规划（一）

• 最优化问题
  • 一般优化问题描写叙述
  • 随机动态规划的结构
    • 离散时间系统
    • 离散时间系统代价函数
  • 反馈
  • 第一个栗子随机动态优化问题
  • 第二个栗子确定动态优化问题
  • 第三个栗子来点复杂的无线网络问题
  • 小结

最优化问题

       动态规划(Dynamic programming)是用来优化一个随机问题的最优解。随机问题是仅仅我们优化的目标是随机的，最优解指的是在统计平均上的最优。

       比較权威的參考资料：Dimiri P. Bertsekas, Dynamic Programming and Optimal Control, 3rd ed., Athena Scientific, Belmont, Massachusetts,2005

一般优化问题描写叙述

minu∈Ug(u)

•  u 是最优化问题的决策
•  g(u) 是决策的代价函数

•  U 是全部决策 ui 的集合

  动态规划的优化问题能够分为：

  1. 随机优化问题：

          由于代价函数存在一个随机变量w，因此最优解的优化目标是代价函数的统计平均。
  

  g(u)=EwG(u,w)
  1. 确定优化问题：

         这个问题代价函数是一个确定函数。

       怎样区分这两个问题呢？我们能够观察系统是否存在随机性，这个随机性是体如今系统之中的，而不是这个系统。

举个栗子，优化一个随机网络是个确定性问题，即给定随意网络结构，找到最短路径。由于网络尽管是随机的，可是优化的目标在确定以后是不变的。

然而优化一个随时变化的网络是一个随机问题。即一边进行优化。网络结构一边在变的问题。
       动态规划正是能够解决每个步骤都有随机变量 w 影响的目标函数，怎样在全局取得统计平均上最优解的问题。后面我们能够看到每个决策都会利用 w 的信息。

随机动态规划的结构

离散时间系统

xk+1=fk(xk,uk,wk),k=0,1,…,N−1

当中：

•  k ：表示离散时间（也能够看作是步骤）。

•  xk ：表示在时间 k 的状态，该状态具有马尔科夫性，即当前状态已经包括决策所须要的各种信息，与之前的状态无关。当前状态将会參与决策。

•  uk ：表示在时间 k 所输出的控制，即再时间 k 在集合 U 中选择的控制信息。

•  wk ：是一个随机变量，这个随机变量将会影响代价函数。
•  N ：表示控制的窗体时间。

离散时间系统代价函数

E{∑k=0N−1gk(xk,uk,wk) + gN(xN)}

我们的优化目标就是优化这个系统的平均代价。

能够看到这个代价是每个决策的代价和终于状态代价的统计平均。

反馈

    前面描写叙述了动态规划的目的，动态规划为了优化一个随机函数。

它的解是平均意义上的最优，并非每次都是最优。动态规划问题能够分为随机优化问题以及确定优化问题。当中确定优化问题能够每次都取得最优解（算法导论上面介绍的就是确定优化问题，这仅仅是动态优化的冰山一角。）。

    动态规划除了能够分为随机动态规划和确定动态规划，还能够分为带反馈和不带反馈(feed back)。也有人叫做开环(open-loop)和闭环(closed-loop)。这个命名可能会导致我们理解错误。

由于，反馈并非指的前一级对后一级的反馈。而是当前状态xk依据wk得出的uk导致的状态跳转。

如图：

    可见反馈真正的意义是，依据如今的状态以及信息wk做决策做决策，并记录这个过程的状态跳转。

第一个栗子：随机动态优化问题

       如果系统是一个零售商的进货系统。进货是周期性的。如果一个周期需求是 wk 显然需求是一个随机变量，库存是 xk 。同一时候也表示这个系统的状态。我们的进货量 uk 也就是我们的决策。所以每一次周期完成后的库存能够表示为xk+1 = xk+uk−wk。

因此我们能够建立例如以下模型：

这个离散时间系统就能够描写叙述为：

xk+1 = fk(xk,uk,wk) = xk+uk−wk

其代价函数会随着时间叠加，所以这个系统的代价函数为：

E{∑k=0N−1(cuk+r(xk))+R(xN)}

我们能够看到每个周期其代价都会叠加，到最后会有一个终于状态的代价（为什么有这个代价呢？最好还是如果没有这个代价，在第N−2个周期我们进货量为正无穷。定能满足需求。

可是这明显是不合理的。

）

第二个栗子：确定动态优化问题

    确定一个确定系统操作顺序问题：我们要找到A,B,C,D的最佳操作顺序。

当中有几个限制：
1. A必须在B之前运行，C必须在D之前运行
2. 必须从A和C開始，即起始状态必须为:SA或者SC
3. 状态 m 到 n 的跳转代价是 Cmn 
则能够画出一个相似二叉树的图：

显然仅仅须要遍历整个图我们就可以找到一个最优解。

第三个栗子：来点复杂的无线网络问题

    系统描写叙述：我们须要在 N 个时隙中发送 M 个数据包，当中有几个限制：
1. 信道条件有两种：好的（概率为：p）。坏的（概率为： 1−p ）
2. 在好的和坏的信道以下都能够传包。不同信道条件下传包的代价不同。好信道的代价为 PG 。

坏的信道的代价为 PB 
3.  N 个发送时隙完成后，最后剩余 m 个数据包的代价为 C(m) 

以下我们依据已知的知识对系统建模：

• 系统状态： (mk,Hk) ： mk 表示剩余数据包的数量， Hk 表示信道条件。

• 控制信息： uk 有两个取值，0（表示不发送），1（表示发送）。

• 随机变量 w :表示信道变化
• 系统描写叙述：mk+1=mk−uk,Hk+1=wk
• 开销函数：
  
  E{∑k=0N−1g((mk,Hk),uk)+C(mN)}
  
  问题解答见：http://blog.csdn.net/sylar_d/article/details/50900521

小结

经过以上栗子我们看出，动态规划问题具有以下几点特性：
1. 控制是局部的，仅仅取决于当前的状态xk
2. 状态具有马尔科夫性。

3. 动态规划系统具有以下特性：

• 系统描写叙述： xk+1=fk(xk,uk,wk),k=0,1,…,N−1 
• 控制约束： uk∈U(xk) 
• 随机概率分布： Pk(wk)=Pk(⋅|xk,uk) 
• 策略：有一系列的策略 π={μ0,…,μN−1} 当中每个 μk 都将状态 xk 依照映射 uk=μk(xk) 映射成为一个决策。
• 代价函数：从x0開始的策略 π 的代价函数为：
  
  Jπ(x0)=E{∑k=0N−1gk(xk,μk(xk),wk)+gN(xN)}
• 最优策略：
  
  J∗(x0)=minπJπ(x0)
• 最优策略 π∗ 必须满足：
  
  Jπ∗(x0)=J∗(x0)