在概率论中，特征函数的益处体现在：
- 任意分布与它的特征函数一一对应；
- 两个独立随机变量之和的特征函数就是它们二者特征函数的积；
- 特征函数在零点附近收敛 == 分布函数弱收敛(Levi continuous theroem)，要处理多个独立随机变量之和的分布，可以采取以下方式：
如果随机变量各阶矩都存在，特征函数在0处求k阶导数可得到：
因此，特征函数是随机变量的分布的不同表示形式。
对于随机变量X的分布，用概率密度函数来描述：
对应的概率密度函数如下：
概率密度函数可以直观描述随机变量 X 的分布，特征函数也可以从另一个角度描述这个分布。
特征（一个女博士为例）
- 名字
- 血型
- 身高
- 声音
- 打扮
- ……..
以上特征如果都一样，那么：
所有特征都相等 ==> 上述两幅图像是同一个人
根据泰勒级数可知，两个函数f(x), g(x)的各阶导数相等的越多，那么这两个函数越相似：
各阶倒数都相等 ==> f(x) = g(x)
随机变量分布的特征
- 期望µ
- 方差σ2
- 偏态SKewness
- 峰态Kurtosis
- ……..
期望：
方差：
偏态：
可见特征都可由各阶矩计算得出，直觉上可以有以下推论（其实还是有条件的，这里先忽略这些严格性，在实际应用中如下思考问题不大）：
各阶矩相等 ==> 各特征相等 ==> 分布相同
特征函数
随机变量X的特征函数定义为：
泰勒级数展开：
因此，可得：
原来特征函数包含了分布函数的所有矩，也就是包含了分布函数的所有特征。
所以，特征函数其实是随机变量X的分布的另外一种描述方式。
特征函数是共轭傅立叶变换
可见两者是共轭的关系：
也就是说，特征函数是f(x)的共轭傅立叶变化，以下将特征函数当作傅立叶变换来理解。
特征函数相当于换了一个坐标系
直角坐标系下，圆的方程为：
在极坐标系下，同样的圆的方程为：
同一个数学对象，在不同坐标系中，有不同的表达形式：
傅立叶变换和直角坐标、极坐标的情况类似，相当于换了坐标系。
矩形波在时域“坐标系”中的形状：
代数形式如下：
在频域“坐标系”中的图像如下：
代数形式如下：
也是同一个数学对象，在不同“坐标系”中，有不同的表达方式：
所以，特征函数是把分布函数换了一个坐标系，因此是分布函数的另外一种表现形式：
特征函数的好处：
正如把直角坐标系换到极坐标系，可以获得计算上的便利。
特征函数把分布函数换到另外一个坐标系，也可以获得一些计算的好处：
（1）假如不知道分布函数，但是通过实验计算出了期望、方差、偏度、峰度等特征，那么可以用特征函数去代替分布函数；
（2）两个分布函数的卷积：
通过特征函数更换坐标系后，可以变为更容易计算的乘法：
通过对 t 求导，可以简单求出各阶矩：
