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本系列从零起步,作为学习笔记与大家分享,从基础的数学和图形理论,一步一步实现基于物理的渲染。
Reference:《PBRT》、《Ray Tracing from the Ground Up》
由于光源是三维空间中的辐射光能,对于其传播范围通常使用立体角来描述,先来看一下什么是立体角。
立体角Solid Angles
立体角表示一个锥面所围成的空间部分,用符号(omega )表示。
立体角是以圆锥体的顶点为心,半径为r的球面被锥面所截得的面积来度量的,度量单位为“球面度”(steradian,符号∶sr)。球面度表示为三维弧度。
在球坐标系中,球面的极小面积({dA}_{2})为:
({dA}_{2}=({r}\,sin heta\, {d}varphi )({r\,d heta })={r}^{2}(sin heta\,{d heta }\,{d}varphi))
整个球面面积为({dA})的积分:
({A}=int {dA}_{2}=int_{0}^{2pi}int_{0}^{pi}({r}\,sin heta\, {d}varphi*{r\,d heta })={r}^{2}int_{0}^{2pi}{d}varphiint_{0}^{pi}sin heta\,{d} heta)
极小立体角定义为球面面积与球半径平方的比值,即:
({domega} = frac{dA}{{r}^{2}}=sin heta\,{d} heta\,{d}varphi)
对上式积分:
({omega} = int_{0}^{2pi }{dvarphi }int_{0}^{pi } sin heta\, {d heta }={4pi })
可知,最大立体角就是单位球体的表面积。
半球积分
半球积分方程表示为:({I} = int_{omega}{f( heta, phi)cos heta \, domega})
其中,({( heta, phi)} in {[0, frac{pi}{2}] [0, 2pi]}),({omega in [0, 2pi]}),(cos heta \, domega)表示立体角在水平面({(x, y)})上的投影,又称为投影立体角。
当函数({f( heta, phi)} = cos^{n-1} heta )时,
({I} = int_{2pi} cos^{n} heta \, {domega})
(= int_{0}^{2pi} int_{0}^{frac{pi}{2}}{cos^{n} heta sin heta \, dphi})
(= int_{0}^{2pi} dphi int_{0}^{2pi} {cos^{n} heta sin heta \, d heta} )
(= {2pi int_{0}^{frac{pi}{2}} cos^{n} heta \, sin heta \, d heta})
(= {2pi left[frac{{cos heta}^{n+1}}{n+1} ight]_{0}^{frac{pi}{2}}} = frac{2pi}{n+1})
最终得出当({f( heta, phi)} = cos^{n-1} heta )时,半球积分为:({I} = frac{2pi}{n+1})