图像中的傅立叶变换（二）

上一篇文章讲了傅立叶变换的本质。这篇文章会总结一下傅立叶变换的常用性质，公式巨多，慎入！慎入！

常用性质

周期性

所谓周期性，即：

[F(u,v)=F(u+M,v)=F(u,v+N)=F(u+M,v+N) ]

证明如下：

[egin{eqnarray} F(u+M,v+N)&=&frac{1}{MN}sum_{x=0}^{M-1}sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2pi [(u+M)x/M+(v+N)/N]} \ &=&frac{1}{MN}sum_{x=0}^{M-1}sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2pi [(u+M)x/M+(v+N)y/N]} \ &=&frac{1}{MN}sum_{x=0}^{M-1}sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2pi (ux/M+vy/N)}e^{-j2pi (x+y)} end{eqnarray} ]

注意，(e^{-j2pi (x+y)}={(e^{-j2pi})}^{x+y}=1^{(x+y)}=1)，所以

[F(u+M,v+N)=frac{1}{MN}sum_{x=0}^{M-1}sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2pi (ux/M+vy/N)}=F(u,v) ]

类似地，可以推出

[f(x,y)=f(x+M,y)=f(x,y+N)=f(x+M,y+N) ]

共轭对称性

回忆一下，在复数域中，共轭指的是虚部取反。即 (z=x+jy) 的共轭是 (z*=x-jy)。

在傅立叶变换中，存在以下共轭对称性：

[F(u,v)=F*(-u,-v) ]

证明如下：

[egin{eqnarray} F*(-u,-v)&=&frac{1}{MN}sum_{x=0}^{M-1}sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{ux/M+vy/N} \ &=&frac{1}{MN}sum_{x=0}^{M-1}sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)[cos{[2pi (ux/M+vy/N)]}-jsin{[2pi(ux/M+vy/N)]}] ext{（注意共轭）} \ &=&F(u,v) end{eqnarray} ]

那么这个性质有什么用呢？注意，(|F*(-u,-v)|=|F(-u,-v)|)，换句话说，(|F(u,v)|=|F(-u,-v)|)。

要知道，(|F(u,v)|) 表示的是傅立叶频谱图，所以，共轭对称性表明，傅立叶的频谱图是中心对称的。

具体地，下图所示的傅立叶频谱图，四个对角上的能量是沿图片中心对称的。

平移性

平移性指的是：

[f(x-x_0,y-y_0) Leftrightarrow F(u,v)e^{-j2pi (ux_0/M+vy_0/N)} ag{1} ]

这个等价关系的意思是说，如果原图 (f(x,y)) 平移了 ((x_0,y_0)) 个单位，那么平移后的图像对应的傅立叶变换为 (F(u,v)e^{-j2pi (ux_0/M+vy_0/N)})，即在原来 (F(u,v)) 的基础上乘上 (e^{-j2pi (ux_0/M+vy_0/N)})。

这个公式的证明很简单。平移前的公式为：

[f(x,y)=sum_{u=0}^{M-1}sum_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2pi (ux/M+vy/N)} ]

现在，原图的像素由 ((x,y)) 平移到 ((x-x_0,y-y_0))，因此，我们只需要将 ((x-x_0,y-y_0)) 代入上式即可：

[egin{eqnarray} f(x-x_0,y-y_0)&=&sum_{u=0}^{M-1}sum_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2pi [(x-x_0)u/M+(y-y_0)v/N]} \ &=&sum_{u=0}^{M-1}sum_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{-j2pi(ux_0/M+vy_0/N)}e^{j2pi (ux/M+vy/N)} end{eqnarray} ]

在保持原来的基底向量不变的情况下，我们只需要将傅立叶系数变成 (F(u,v)e^{-j2pi(ux_0/M+vy_0/N)}) 即可。

同样的，如果频谱图发生平移，有如下关系成立：

[F(u-u_0,v-v_0)Leftrightarrow f(x,y)e^{j2pi (u_0 x/M+v_0 y/N)} ag{2} ]

证明的方法是类似的。

从平移关系中，我们可以得到一个很好的性质。注意，在复数中，有这样两个等式成立 (|e^{aj}e^{bj}|=|e^{aj}||e^{bj}|)、(|e^{jx}|=1)（不懂的请复习复数相关的内容）。应用到上面的结论，即 (|F(u,v)e^{-j2pi (ux_0/M+vy_0/N)}|=|F(u,v)|)。换句话说，原图平移后，傅立叶频谱图不变。

例如，对于下面两幅图（为了保持图片大小不变，我们在图片外围补了一层 ‘0’ 边界）：

它们对应的傅立叶频谱图都是这个样子的：

注意，四个角上的白点代表低频信号的分量。

另外，我们平时经常用的中心化操作也依赖于平移性和周期性。

所谓中心化，就是将频谱图平移 ((M/2, N/2)) 个单位。由平移性的公式 (2)，可以得到：

[egin{eqnarray} F(u-frac{M}{2},v-frac{N}{2}) &Leftrightarrow& f(x,y)e^{j2pi (frac{1}{2}x+frac{1}{2}y)} \ &=&f(x,y)e^{jpi(x+y)} \ &=&f(x,y){e^{jpi}}^{(x+y)} \ &=&f(x,y)(-1)^{x+y} end{eqnarray} ]

所以，我们只要对原图的每个像素乘以 ((-1)^{x+y})，然后进行傅立叶变换，这样得到的频谱图便是中心化后的频谱图了。

如果对上一幅频谱图中心化，则可以得到：

这么做的目的是为了方便肉眼观察。中心化后，频谱图中心对应的便是低频分量，远离中心的，则是高频分量。

卷积定理

卷积定理表述为：

[f(x,y)*h(x,y) Leftrightarrow F(u,v)H(u,v) \ F(u,v)*H(u,v) Leftrightarrow f(x,y)h(x,y) ]

（注意，右边式子表示的是矩阵的点乘运算，而不是矩阵乘法）

它的意思是说，在空间域内进行卷积运算，跟把它们转换到频率域再进行点乘运算，效果是等价的。

要证明这个定理，首先要知道卷积的定义（关于卷积的定义，可以参考这篇知乎的回答）：

[f(x,y)*h(x,y)=sum_{m=0}^{M-1}sum_{n=0}^{N-1}f(m,n)h(x-m,y-n) ]

然后，我们对等式两边同时进行傅立叶变换（注意，傅立叶变换是针对x、y进行的，m、n相关的式子可以看作常数）：

[egin{eqnarray} F[f(x,y)*h(x,y)]&=&F[sum_{m=0}^{M-1}sum_{n=0}^{N-1}f(m,n)h(x-m,y-n)] \ &=&sum_{m=0}^{M-1}sum_{n=0}^{N-1}f(m,n)F[h(x-m,y-n)] \ end{eqnarray} ]

由之前的平移性，我们知道：(h(x-m,y-n)Leftrightarrow H(u,v)e^{-j2pi (um/M+vn/N)}) 。所以上式中的 (F[h(x-m,y-n)]=H(u,v)e^{-j2pi (um/M+vn/N)})，这样，我们便得到：

[egin{eqnarray} F[f(x,y)*h(x,y)]&=&sum_{m=0}^{M-1}sum_{n=0}^{N-1}f(m,n)F[h(x-m,y-n)] \ &=&sum_{m=0}^{M-1}sum_{n=0}^{N-1}f(m,n)H(u,v)e^{-j2pi (um/M+vn/N)} \ &=&sum_{m=0}^{M-1}sum_{n=0}^{N-1}f(m,n)e^{-j2pi (um/M+vn/N)} H(u,v) \ &=&F(u,v)H(u,v) end{eqnarray} ]

上面的 (sum_{m=0}^{M-1} sum_{n=0}^{N-1} f(m,n)e^{-j2pi (um/M+vn/N)}) 刚好凑成一个傅立叶变换 (F(u,v))。所以我们最终证明：(f(x,y)*h(x,y) Leftrightarrow F(u,v)H(u,v))。

另一个式子 (F(u,v)*H(u,v) Leftrightarrow f(x,y)h(x,y)) 的证明是类似的。