MST之kruskal算法

一、普里姆（Prim）算法

　　1.基本思想：设G=(V, E)是具有n个顶点的连通网，T=(U, TE)是G的最小生成树， T的初始状态为U={u0}（u0∈V），TE={}，重复执行下述操作：在所有u∈U，v∈V-U的边中找一条代价最小的边(u, v)并入集合TE，同时v并入U，直至U=V。即：

     （1）从连通网络 G = { V, E }中的某一顶点 u0 出发，选择与它关联的具有最小权值的边(u0, v)，将其顶点加入到生成树的顶点集合U中。

　　（2）以后每一步从一个顶点在U中，而另一个顶点不在U中的各条边中选择权值最小的边(u, v),把它的顶点加入到集合U中。如此继续下去，直到网络中的所有顶点都加入到生成树顶点集合U中为止。

　　2.示例：

　　

　　

　　3.实现：

void MiniSpanTree_PRIM(MGraph G, VertexType u)
{ 
    // 用普里姆算法从第u个顶点出发构造网G的最小生成树T，输出T的各条边。
    // 记录从顶点集U到V－U的代价最小的边的辅助数组定义：
    //  struct {
    //      VertexType  adjvex;
    //      VRType     lowcost;
    //  } closedge[MAX_VERTEX_NUM];
    k = LocateVex ( G, u );
    for ( j=0; j<G.vexnum; ++j )
    {     // 辅助数组初始化
        if (j!=k)
        { closedge[j].adjvex=u; closedge[j].lowcost=G.arcs[k][j].adj; }
    }
    closedge[k].lowcost = 0;      // 初始，U＝{u}
    for (i=1; i<G.vexnum; ++i)
    {  // 选择其余G.vexnum-1个顶点
        k = minimum(closedge);      // 求出T的下一个结点：第k顶点
        // 此时closedge[k].lowcost =
        // MIN{ closedge[vi].lowcost | closedge[vi].lowcost>0, vi∈V-U }
        printf(closedge[k].adjvex, G.vexs[k]);   // 输出生成树的边
        closedge[k].lowcost = 0;    // 第k顶点并入U集
        for (j=0; j<G.vexnum; ++j)
            if (G.arcs[k][j].adj < closedge[j].lowcost)
            {
                // 新顶点并入U后重新选择最小边
                closedge[j] = { G.vexs[k], G.arcs[k][j].adj };
            }
    }
}

二、克鲁斯卡尔（Kruskal）算法

　　1. 基本思想：设无向连通网为G＝(V, E)，令G的最小生成树为T＝(U, TE)，其初态为U＝V，TE＝{ }，然后，按照边的权值由小到大的顺序，考察G的边集E中的各条边。若被考察的边的两个顶点属于T的两个不同的连通分量，则将此边作为最小生成树的边加入到T中，同时把两个连通分量连接为一个连通分量；若被考察边的两个顶点属于同一个连通分量，则舍去此边，以免造成回路，如此下去，当T中的连通分量个数为1时，此连通分量便为G的一棵最小生成树。 

　　2.示例：

　　

　　3.实现：

1. 初始化：U=V；  TE={ }；
2. 循环直到T中的连通分量个数为1 
     2.1 在E中寻找最短边(u，v);
     2.2 如果顶点u、v位于T的两个不同连通分量，则
           2.2.1 将边(u，v)并入TE；
           2.2.2 将这两个连通分量合为一个；
     2.3 在E中标记边(u，v)，使得(u，v)不参加后续最短边的选取；

 未完待续，，，