Java之判断大整数是否为平方数

在本篇博客中，我们将讨论如何使用有效的算法来判断一个大整数是否为平方数。
给定正整数(n),如果存在一个整数(m)，满足(m^{2}=n)，那么则称(n)为平方数。因此，判断一个大整数(n)是否为平方数，很自然的想法就是，从1开始，依次递增，判断这个数的平方是否等于给定的数(n)，如果是，则(n)为平方数，如果这个数的平方大于(n)，则(n)不是平方数。这个想法很简单，但可惜的是，效率却很低，因为我们要遍历(sqrt{n})个数，当(n)很大时，这样的效率是我们不能忍受的。
那么有没有其他方法呢？这时候，一个公式进入我们的视野，那就是：

[1+3+5+...+2n-1=n^{2}. ]

看上去这个公式给了我们一点希望，因为我们不需要从1开始一个一个去找，而是只需要寻找至(2sqrt{n}-1)即可。但我们仔细地分析一下，不难发现，该公式的实质和一个一个找没什么区别，因为我们还是要遍历(sqrt{n})个数。
所以，存在有效的算法吗？答案是肯定的！为什么不尝试着去计算(n)的平方根呢？按照这个思路，我们具体的算法，结合牛顿法，步骤如下：

初始值(x_0=1), 误差(epsilon)足够小；
按照(x_{n+1}=frac{1}{2}(x_{n}+frac{n}{x_{n}}))迭代，直至(|x_{n}^{2}-n|leqepsilon);
对(x_{n})取整，结果为(m)，如果(m)的平方为(n)，则(n)为平方数，否则不是平方数。

接下来，我们证明这个算法的有效性。首先，我们证明对于(ngeq1)，都有(x_{n} > sqrt{n})。我们使用数学归纳法。

当(n=1)时，(x_{1}=frac{1}{2}(1+n)>sqrt{n}).
假设(x_{n}>sqrt{n}),则(x_{n+1}-sqrt{n}=frac{x_{n}^{2}+n-2sqrt{n}x_{n}}{2x_{n}}=frac{(x_{n}-sqrt{n})^{2}}{2x_{n}}>0),所以(x_{n+1}>sqrt{n}).

接着我们再证明(x_{n}(ngeq1))序列递减。因为当(n>0)时，有

[x_{n+1}-x_{n}=frac{n-x_{n}^{2}}{2x_{n}}<0. ]

这是因为当(ngeq1)时，有(x_{n}>sqrt{n}).

因此，我们利用第二步的迭代，不停地运算后，所得到的项(x_{n})与(sqrt{n})很接近，只是稍微大一点。因此，该算法的第三步的判断就是正确的了。
下面我们将会给出上述算法的Java程序代码，具体如下：

package Problems;

import java.math.BigInteger;
import java.math.BigDecimal;

public class IS_Square {
    public static void main(String[] args) {

        // 计算2**128+1
        BigInteger F7 = new BigInteger("2").pow(128).add(BigInteger.ONE);
        boolean w = is_square(F7);
        if(w)
            System.out.println(String.format("%s是完全平方数。", F7));
        else
            System.out.println(String.format("%s不是完全平方数。", F7));

    }

    // 判断是否为完全平方数
    public static boolean is_square(BigInteger F7){
        // 牛顿法求解平方根, 求解a的平方根
        // x为a的平方根，x的初始值为1， 按x = (x+a/x)/2迭代， 误差为error
        BigDecimal x = BigDecimal.ONE;
        BigDecimal a = new BigDecimal(F7.toString());
        BigDecimal eps = new BigDecimal("1");
        final BigDecimal error = new BigDecimal("1E-10");
        int scale = 100;

        // 进入循环
        while(eps.compareTo(error) == 1){ // eps > error
            x = x.add(a.divide(x, scale, BigDecimal.ROUND_HALF_UP)).divide(new BigDecimal("2.0"), scale, BigDecimal.ROUND_HALF_UP);
            eps = x.multiply(x).subtract(a).abs();
        }

        BigInteger sqrt = x.toBigInteger();  // 求平方根的整数部分
        if(sqrt.pow(2).compareTo(F7) == 0)
            return true;
        else
            return false;

    }

}

其输出结果如下：

340282366920938463463374607431768211457不是完全平方数。

如果将Java程序中的(F7=2^{128}),则输出结果为：

340282366920938463463374607431768211456是完全平方数。

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