给定一个字符串，求出其最长回文子串。例如：
- s="abcd"，最长回文长度为 1；
- s="ababa"，最长回文长度为 5；
- s="abccb"，最长回文长度为 4，即 bccb。
以上问题的传统思路大概是，遍历每一个字符，以该字符为中心向两边查找。其时间复杂度为 O(n2)，效率很差。
1975 年，一个叫 Manacher 的人发明了一个算法，Manacher 算法（中文名：马拉车算法），该算法可以把时间复杂度提升到 O(n)。
下面来看看马拉车算法是如何工作的。
算法过程分析
由于回文分为偶回文（比如 bccb）和奇回文（比如 bcacb），而在处理奇偶问题上会比较繁琐，所以这里我们使用一个技巧，具体做法是：在字符串首尾，及各字符间各插入一个字符（前提这个字符未出现在串里）。
举个例子：s="abbahopxpo"，转换为 s_new="$#a#b#b#a#h#o#p#x#p#o#"（这里的字符 $ 只是为了防止越界，下面代码会有说明），如此，s 里起初有一个偶回文 abba 和一个奇回文 opxpo，被转换为 #a#b#b#a# 和 #o#p#x#p#o#，长度都转换成了奇数。
定义一个辅助数组 int p[]，其中 p[i] 表示以 i 为中心的最长回文的半径，例如：
| i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| s_new[i] | $ | # | a | # | b | # | b | # | a | # | h | # | o | # | p | # | x | # | p | # |
| p[i] | 1 | 2 | 1 | 2 | 5 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 4 | 1 | 2 | 1 |
可以看出，p[i] - 1 正好是原字符串中最长回文串的长度。
接下来的重点就是求解 p 数组，如下图：
设置两个变量，mx 和 id 。mx 代表以 id 为中心的最长回文的右边界，也就是 mx = id + p[id]。
假设我们现在求 p[i]，也就是以 i 为中心的最长回文半径，如果 i < mx，如上图，那么：
if (i < mx)
p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);
2 * id - i 为 i 关于 id 的对称点，即上图的 j 点，而 p[j]表示以 j 为中心的最长回文半径，因此我们可以利用 p[j] 来加快查找。
代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
char s[1000];
char s_new[2000];
int p[2000];
int Init()
{
int len = strlen(s);
s_new[0] = '$';
s_new[1] = '#';
int j = 2;
for (int i = 0; i < len; i++)
{
s_new[j++] = s[i];
s_new[j++] = '#';
}
s_new[j] = ' '; // 别忘了哦
return j; // 返回 s_new 的长度
}
int Manacher()
{
int len = Init(); // 取得新字符串长度并完成向 s_new 的转换
int max_len = -1; // 最长回文长度
int id;
int mx = 0;
for (int i = 1; i < len; i++)
{
if (i < mx)
p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i); // 需搞清楚上面那张图含义, mx 和 2*id-i 的含义
else
p[i] = 1;
while (s_new[i - p[i]] == s_new[i + p[i]]) // 不需边界判断，因为左有'$',右有' '
p[i]++;
// 我们每走一步 i，都要和 mx 比较，我们希望 mx 尽可能的远，这样才能更有机会执行 if (i < mx)这句代码，从而提高效率
if (mx < i + p[i])
{
id = i;
mx = i + p[i];
}
max_len = max(max_len, p[i] - 1);
}
return max_len;
}
int main()
{
while (printf("请输入字符串：
"))
{
scanf("%s", s);
printf("最长回文长度为 %d
", Manacher());
}
return 0;
}
算法复杂度分析
文章开头已经提及，Manacher 算法为线性算法，即使最差情况下其时间复杂度亦为 O(n)，在进行证明之前，我们还需要更加深入地理解上述算法过程。
根据回文的性质，p[i] 的值基于以下三种情况得出：
（1）：j 的回文串有一部分在 id 的之外，如下图：
上图中，黑线为 id 的回文，i 与 j 关于 id 对称，红线为 j 的回文。那么根据代码此时 p[i] = mx - i，即紫线。那么 p[i] 还可以更大么？答案是不可能！见下图：
假设右侧新增的紫色部分是 p[i] 可以增加的部分，那么根据回文的性质，a 等于 d ，也就是说 id 的回文不仅仅是黑线，而是黑线+两条紫线，矛盾，所以假设不成立，故 p[i] = mx - i，不可以再增加一分。
（2）：j 回文串全部在 id 的内部，如下图：
根据代码，此时 p[i] = p[j]，那么 p[i] 还可以更大么？答案亦是不可能！见下图：
假设右侧新增的红色部分是 p[i] 可以增加的部分，那么根据回文的性质，a 等于 b ，也就是说 j 的回文应该再加上 a 和 b ，矛盾，所以假设不成立，故 p[i] = p[j]，也不可以再增加一分。
（3）：j 回文串左端正好与 id 的回文串左端重合，见下图：
根据代码，此时 p[i] = p[j] 或 p[i] = mx - i，并且 p[i] 还可以继续增加，所以需要
while (s_new[i - p[i]] == s_new[i + p[i]])
p[i]++;根据（1）（2）（3），很容易推出 Manacher 算法的最坏情况，即为字符串内全是相同字符的时候。在这里我们重点研究 Manacher() 中的 for 语句，推算发现 for 语句内平均访问每个字符 5 次，即时间复杂度为：Tworst(n)=O(n)。
同理，我们也很容易知道最佳情况下的时间复杂度，即字符串内字符各不相同的时候。推算得平均访问每个字符 4 次，即时间复杂度为：Tbest(n)=O(n)。
综上，Manacher 算法的时间复杂度为O(n)。