图的割点与割边

话说割点概念，应该很好理解：

一个图，如果一个点消失，这个点就不连通，那么这个点就是这个图的割点（无向图）

举个例子：

很明显，4就是这个图的割点。

所以怎么求割点呢？？

来来来，先上数据：

嗯，注意这是无向图！！！

做法是这样的

首先，记录每一个点的时间截，也就是dfs第几次搜索到这个点，时间截图如下：

之后，记录每个节点在不经过自己的节点范围内，最小的时间截。

例如从3号点搜索到的4，那么4号点的最小时间截为1号点的1

再例如从4到达的5，那么5的最小时间截是4号点的3（注意可以到达4号点，只是不能经过）

最后，如果一个点的时间截>=它的下一个点的最小时间截，那么这个点就是割点。

举个例子：4号点的下一个点有5和6和2，以5举例，5的最小时间截是3,4的时间截是3，>=5号点最小时间及偶尔，所以4号点是割点。

代码实现我们用到的是dfs，开始每个点的最小时间截，就是自己本身的时间截，然后在通过一条一条边，不断变少。

先呈上代码，然后我们来模拟一下dfs过程：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;
int n,m;
int root;
int total=0;
int index=0;
int head[100010];
int book[100010];
int num[100010],low[100010];
struct edge
{
    int from;
    int to;
    int next;
}input[100010];
void add_edge(int a,int b)
{
    total++;
    input[total].from=a;
    input[total].to=b;
    input[total].next=head[a];
    head[a]=total;
}
void dfs(int now,int father)
{
    index++;
    int child=0;
    num[now]=index;
    low[now]=index;
    for(int e=head[now];e!=0;e=input[e].next)
    {
        if(num[input[e].to]==0)
        {
            child++;
            dfs(input[e].to,now);
            low[now]=min(low[now],low[input[e].to]);
            if(now!=root && low[input[e].to]>=num[now])
                book[now]=true;
            if(now==root && child==2)
                book[now]=true;
        }
        else if(input[e].to!=father)
            low[now]=min(low[now],num[input[e].to]);
    }
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        add_edge(a,b); 
        add_edge(b,a);
    }
    root=1;
    dfs(1,root); 
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(book[i])
            cout<<i<<" ";
}

开始还是一直递归，1——3——4——6

然后发现6无法递归，于是返回

到4，发现自己的最小时间截（以下简称low）比6的4要小，所以不改变。

然后到5，发现low还是比5的5要小，所以不改变。

接着到2，发现2的时间截还是更大，所以不改变。返回。

此时，2、5、6的low都比4的时间截大，所以4为截点

之后，发现从一号点每一个连着的点都被走过，所以循环终止

4为截点。

割点完毕。

然后割边

一句话，割边就删一个等于号就好啦。

至于为什么很好想吧？

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;
int n,m;
int total=0;
int index=0;
int head[100010];
int num[100010],low[100010];
struct edge
{
    int from;
    int to;
    int next;
}input[100010];
void add_edge(int a,int b)
{
    total++;
    input[total].from=a;
    input[total].to=b;
    input[total].next=head[a];
    head[a]=total;
}
void dfs(int now,int father)
{
    index++;
    num[now]=index;
    low[now]=index;
    for(int e=head[now];e!=0;e=input[e].next)
    {
        if(num[input[e].to]==0)
        {
            dfs(input[e].to,now);
            low[now]=min(low[now],low[input[e].to]);
            if(low[input[e].to]>num[now])
                cout<<now<<"->"<<input[e].to<<endl;
                
        }
        else if(input[e].to!=father)
            low[now]=min(low[now],num[input[e].to]);
    }
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        add_edge(a,b); 
        add_edge(b,a);
    }
    dfs(1,1); 
}

嗯，就关注