POJ 3233 Matrix Power Series （矩阵乘法）

Matrix Power Series

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Description

Given a n × n matrix A and a positive integer k, find the sum S = A + A² + A³ + … + A^k.

Input

The input contains exactly one test case. The first line of input contains three positive integers n (n ≤ 30), k (k ≤ 10⁹) and m (m < 10⁴). Then follow n lines each containing n nonnegative integers below 32,768, giving A’s elements in row-major order.

Output

Output the elements of S modulo m in the same way as A is given.

Sample Input

2 2 4
0 1
1 1

Sample Output

1 2
2 3

Source

POJ Monthly--2007.06.03, Huang, Jinsong

 

 

题意：已知一个n*n的矩阵A，和一个正整数k，求S = A + A² + A³ + … + A^k。

 

思路：矩阵快速幂。首先我们知道 A^x 可以用矩阵快速幂求出来（具体可见poj 3070）。其次可以对k进行二分，每次将规模减半，分k为奇偶两种情况，如当k = 6和k = 7时有：

      k = 10 有： S(9) = ( A^1+A^2+A^3+A^4+ A^5 ) + A^5 * ( A^1+A^2+A^3+A^4+A^5 ) = S(5) + A^5 * S(5) 

      k = 5 有： S(5) = ( A^1+A^2 ) + A^3 + A^3 * ( A^1+A^2 ) = S(2) + A^3 + A^3 * S(2)

　   k = 2 有 :  S(2) = A^1 + A^2 = S(1) + A^1 * S(1)

 从上面几个式子可以发现，当k为奇数或者偶数的区别，具体见代码中的solve函数。（solve函数的功能：递推到底层，也就是到 k = 1时回退，最后一步一步求出，弄懂递推的思想，这题也就明白了），当然定义成数组，然后再进行一些预处理，效率会更高些。

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>

using namespace std;

int n,k,mod;

struct Matrix{
    int arr[40][40];
};

Matrix unit,init;

Matrix Mul(Matrix a,Matrix b){
    Matrix c;
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++){
            c.arr[i][j]=0;
            for(int k=0;k<n;k++)
                c.arr[i][j]=(c.arr[i][j]+a.arr[i][k]*b.arr[k][j]%mod)%mod;
            c.arr[i][j]%=mod;
        }
    return c;
}

Matrix Pow(Matrix a,Matrix b,int x){
    while(x){
        if(x&1){
            b=Mul(b,a);
        }
        x>>=1;
        a=Mul(a,a);
    }
    return b;
}

Matrix Add(Matrix a,Matrix b){
    Matrix c;
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
            c.arr[i][j]=(a.arr[i][j]+b.arr[i][j])%mod;
    return c;
}

Matrix solve(int x){
    if(x==1)
        return init;
    Matrix res=solve(x/2),cur;
    if(x&1){
        cur=Pow(init,unit,x/2+1);
        res=Add(res,Mul(cur,res));
        res=Add(res,cur);
    }else{
        cur=Pow(init,unit,x/2);
        res=Add(res,Mul(cur,res));
    }
    return res;
}

int main(){

    //freopen("input.txt","r",stdin);

    while(~scanf("%d%d%d",&n,&k,&mod)){
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++){
                scanf("%d",&init.arr[i][j]);
                unit.arr[i][j]=(i==j?1:0);
            }
        Matrix res=solve(k);
        for(int i=0;i<n;i++){
            for(int j=0;j<n-1;j++)
                printf("%d ",res.arr[i][j]);
            printf("%d
",res.arr[i][n-1]);
        }
    }
    return 0;
}