数据结构基础(4) --快速排序

快速排序是最流行的,也是速度最快的排序算法(C++ STL 的sort函数就是实现的快速排序); 快速排序（Quicksort）是对冒泡排序的一种改进。由C. A. R. Hoare在1962年提出。它的基本思想是：通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据序列变成有序序列。其算法的特点就是有一个枢轴(pivot), 枢轴左边的元素都小于/等于枢轴所指向的元素, 枢轴右边的元素都大于枢轴指向的元素;

快速排序算法思想:

设要排序的数组是A[0], ..., A[N-1]，首先任意选取一个数据作为standard（通常选用数组的最后一个数）作为关键数据，然后将所有比它小的数都放到它前面,所有比它大的数都放到它后面(其实只要保证所有比他小的元素都在其前面,则后一条件则自动满足了),这个过程称为一趟快速排序。值得注意的是，快速排序不是一种稳定的排序算法，也就是说，多个相同的值的相对位置也许会在算法结束时产生变动。(信息来源:百度百科)

一次划分

目标:

找一个记录，以它的关键字/下标作为”枢轴/pivot”，凡是值小于枢轴的元素均移动至该枢轴所指向的记录之前,凡关键字大于枢轴的记录均移动至该记录之后。

致使一趟排序之后，记录的无序序列R[s..t]将分割成两部分：R[s..i-1]和R[i+1..t]，且

R[j].value ≤ R[i].value ≤ R[j].value

//实现
template <typename Type>
int partitionBy3Loop(Type *array, int p, int r)
{
    int i = p;
    int j = r+1;    //j:超出末尾元素额下一位置

    Type x = array[p];  //将最左边的元素作为枢轴元素

    //将<x的元素交换到左边区域
    //将>x的元素交换到右边区域
    while (true)
    {
        //找到一个比x大(>=x)的元素
        while (i < r && array[++i] < x);
        //找到一个比x小(<=x)的元素
        while (array[--j] > x);

        if (i >= j)
            break;
        //交换
        std::swap(array[i], array[j]);
    }
    //将枢轴元素与array[p]进行交换
    std::swap(array[p], array[j]);

    //返回枢轴
    return j;
}

/**说明:
    几乎国内所有的数据结构与算法的教材中的Partition实现都
    类似于上面的那一种, 虽然易于理解,但实现过于复杂;
    <算法导论>中给出了另一种实现方式,
    该方式虽然不易于理解(其实明白其原理之后你就会爱上她),但是比较容易实现!
*/
template <typename Type>
int partitionBy1Loop(Type *array, int p, int r)
{
    Type x = array[r];  //x作为最终枢轴所指向的元素
    //i指向的是枢轴左边的最后一个元素
    //也就是与x左邻元素的下标
    int i = p - 1;
    //j则不断的寻找下一个<=x的元素
    for (int j = p; j < r; ++j)
    {
        if (array[j] <= x)
        {
            ++ i;
            std::swap(array[i], array[j]);
        }
    }
    std::swap(array[i+1], array[r]);

    //最终使得所有(i+1)左边的元素都<=array[i+1],
    //因此, 所有array[i+2:r]的元素都是大于array[i+1]的

    return i+1;
}

快速排序

首先对无序的记录序列进行“一次划分”，之后分别对分割所得两个子序列“递归”进行快速排序。

//实现
template <typename Type>
void quickSort(Type *array, int p, int r)
{

    if (p < r)
    {
        int pivot = partitionBy1Loop(array, p, r);
        quickSort(array, p, pivot-1);
        quickSort(array, pivot+1, r);
    }
}

快速排序的时间复杂性

假设一次划分所得枢轴位置 i = k，则对 n 个记录进行快排所需时间：

T(n) = {Tpass(n) + T(k-1) + T(n-k) |Tpass(n)为对 n 个记录进行一次划分所需时间}

若待排序列中记录的关键字是随机分布的，则 k 取 1 至 n 中任意一值的可能性相同。

由此可得快速排序所需时间的平均值为：

设 Tavg(1)≤b,则可得结果：

因此:快速排序的时间复杂度为O(nlogn)

若待排记录的初始状态为按关键字有序时，快速排序将蜕化为起泡排序，其时间复杂度为O(n^2)。

为避免出现这种情况，需在进行一次划分之前，进行“预处理”，即:先对 R(s).key, R(t).key 和 R[ë(s+t)/2û].key，进行相互比较，然后取关键字为三个元素中居中间的那个元素作为枢轴记录。