因子检测
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检测因子，时间复杂度O(n^(1/2))
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def is_prime(n):
if n < 2:
return False
for i in xrange(2, int(n**0.5+1)):
if n%i == 0:
return False
return True
费马小定理
"""
费马小定理
如果n是一个素数，a是小于n的任意正整数，那么a的n次方与a模n同余
实现方法
选择一个底数（例如2），对于大整数p，如果2^(p-1)与1不是模p同余数，则p一定不是素数；否则，则p很可能是一个素数
2**(n-1)%n 不是一个容易计算的数字
模运算规则
(a^b) % p = ((a % p)^b) % p
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p
计算X^N(% P)
可以
如果N是偶数，那么X^N =（X*X）^[N/2]；
如果N是奇数，那么X^N = X*X^(N-1) = X *（X*X）^[N/2]；
"""
def xn_mod_p(x, n, p):
if n == 0:
return 1
res = xn_mod_p((x*x)%p, n>>1, p)
if n&1 != 0:
res = (res*x)%p
return res
"""
也可以归纳为下面的算法 两个函数是一样的
"""
def xn_mod_p2(x, n, p):
res = 1
n_bin = bin(n)[2:]
for i in range(0, len(n_bin)):
res = res**2 % p
if n_bin[i] == '1':
res = res * x % p
return res
"""
有了模幂运算快速处理就可以实现费马检测
费马测试当给出否定结论时，是准确的，但是肯定结论有可能是错误的，对于大整数的效率很高，并且误判率随着整数的增大而降低
"""
def fermat_test_prime(n):
if n == 1:
return False
if n == 2:
return True
res = xn_mod_p(2, n-1, n)
return res == 1
MILLER-RABIN检测
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Miller-Rabin检测是目前应用比较广泛的一种
二次探测定理:如果p是一个素数,且0<x<p,则方程x^2%p=1的解为:x=1或x=p-1
费马小定理：a^(p-1) ≡ 1(mod p)
这就是Miller-Rabin素性测试的方法。不断地提取指数n-1中的因子2，把n-1表示成d*2^r（其中d是一个奇数）。那么我们需要计算的东西就变成了a的d*2^r次方除以n的余数。于是，a^(d * 2^(r-1))要么等于1，要么等于n-1。如果a^(d * 2^(r-1))等于1，定理继续适用于a^(d * 2^(r-2))，这样不断开方开下去，直到对于某个i满足a^(d * 2^i) mod n = n-1或者最后指数中的2用完了得到的a^d mod n=1或n-1。这样，Fermat小定理加强为如下形式：
尽可能提取因子2，把n-1表示成d*2^r，如果n是一个素数，那么或者a^d mod n=1，或者存在某个i使得a^(d*2^i) mod n=n-1 ( 0<=i<r ) （注意i可以等于0，这就把a^d mod n=n-1的情况统一到后面去了）
定理:若n是素数,a是小于n的正整数,则n对以a为基的Miller测试,结果为真.
Miller测试进行k次,将合数当成素数处理的错误概率最多不会超过4^(-k)
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def miller_rabin_witness(a, p):
if p == 1:
return False
if p == 2:
return True
#p-1 = u*2^t 求解 u, t
n = p - 1
t = int(math.floor(math.log(n, 2)))
u = 1
while t > 0:
u = n / 2**t
if n % 2**t == 0 and u % 2 == 1:
break
t = t - 1
b1 = b2 = xn_mod_p2(a, u, p)
for i in range(1, t + 1):
b2 = b1**2 % p
if b2 == 1 and b1 != 1 and b1 != (p - 1):
return False
b1 = b2
if b1 != 1:
return False
return True
def prime_test_miller_rabin(p, k):
while k > 0:
a = randint(1, p - 1)
if not miller_rabin_witness(a, p):
return False
k = k - 1
return True
参考摘录自 http://www.codinglabs.org/html/prime-test.html