什么是好的数学？

哈代认为美的和严肃的（serious）的数学才是好的数学。其中严肃的数学有两个标准：普遍性（generality）和深刻性（depth）。 普遍性不是指抽象性，在抽象性的意义上，所有数学都是普遍的。 “一个有意义的概念，一条严肃的数学定理，将在下述意义上被认为是‘普遍的’。数学概念应该是许多数学构造的要素，应能应用于许多不同种定理得证明。定理则应能被广泛地推广，而且应是所有同类型定理中的典型。即使它最初是以一种相当特殊的形式提出也是如此。证明中所揭示的关系应该联系着许多不同的数学概念。”（pp. 47-48，最后一句的翻译有点问题，略做了改动） 按照我的理解，这里的普遍性是某种二阶概念，是在数学内部的普遍性，而不是数学本身的普遍性。 普遍性也不能太过，哈代引了怀特海在《科学与现代世界》中的一句话：“被适当的特殊性所制约的广泛的普遍性，才是最富有成果的概念”。（商务出版的怀特海的书的中译名是《科学与近代世界》） 按照我的理解，范畴论中的范畴就是一个具有某种特殊性但又足够普遍的概念。 深刻性与证明的困难性相关。如果一个定理的证明不但要用到这个定理所直接涉及的概念，而且要用到其他层次的概念，那么这个定理就是深刻的。证明中用到的概念层次与定理直接涉及的概念层次越远，定理就越深刻。