位运算骚操作

bit operations

• /2, *2

  

• odd or even

• 实现mod

  当计算\(a \mod b\) 且 b是\(2^n\)时，可以直接使用\(a \& (b-1)\)来计算\(a \mod b\)​。

  原理为：$a \mod b \(是\)a/b$​的余数。

  因为\(b=2^n\),\(a/2^n\)又可以转换为a=a>>n;

  所以$ a \mod b $​​ = a - (a//b)*b = \(a - (a//2^n)*2^n\)​

  所以\(a \mod b\) = a - (a>>n)<<n

  又因为right shift是截断的，所以(a>>n)<<n的结果是将a的低n位置0,记为\(a'\)

  所以\(a - a' = a + (-a') = a + ( \sim a'+1)\)​

  • 关于\(a - a'\) = 低n位的推导

    

综上，可以得到结论：这个低n位就是mod运算的结果（余数）

所以，\(b-1=2^n-1\)，二进制表示为n-1位全1

所以，\(a\&(b-1)\)就是取a的低n位，就是余数,即mod运算结果

• 求商

  经过上面的推导，发现计算\(a \mod b\)当\(b=2^n\)时，a的低n位是余数，高m-n位是商。高m-n位是商的原因是：商应为\(a//b = a//2^n\) = a右移n位后的值，当a是正数时，符号位扩展一直是0，所以商是a的高m-n位。所以在这种情况下，求商的方法就是取a的高m-n位，之前取a的低n位操作是a&(b-1)，那么现在就是a&~(b-1)。这个操作可以在ispc的tutorial中看到：https://ispc.github.io/perfguide.html