ZOJ 1015 弦图判定

一些定义:

弦图是一种特殊图:它的所有极小环都只有3个顶点。

单纯点：该顶点与其邻接点在原图中的导出子图是一个完全图。

图G的完美消去序列：一个顶点序列a₁a₂a₃...a_n,使得对于每个元素a_i，a_i在a_i、a_i+1、a_i+2...a_n的导出子图中是一个单纯点。

弦图有一个性质：任何一个弦图都至少存在一个单纯点（该点和其邻接点组成一个完全图）

弦图另一个性质：一个图是弦图当且仅当其存在完美消去序列。（归纳证明）

最大势算法(msc）：若原图是弦图，则该算法计算出的序列是完美消去序列。

算法大致思想：从后往前计算序列，每次选择点v作为序列中的元素，v是还未选的点中与已经选了的点连边最多的点。

然后检查该序列是否是完美消去序列。

请看陈丹琦的ppt：《弦图与区间图》

BZOJ:

 1 /**************************************************************
 2     Problem: 1242
 3     User: idy002
 4     Language: C++
 5     Result: Accepted
 6     Time:544 ms
 7     Memory:1816 kb
 8 ****************************************************************/
 9  
10 #include <cstdio>
11 #include <cstring>
12 #define N 1010
13 #define M N*N*2
14  
15 int n, m;
16 bool c[N][N];
17 int qu[N], inq[N], dgr[N];
18 int stk[N], top;
19  
20 void msc() {
21     dgr[0] = -1;
22     for( int i=n; i>=1; i-- ) {
23         int s = 0;
24         for( int u=1; u<=n; u++ ) 
25             if( !inq[u] && dgr[u]>dgr[s] ) s=u;
26         qu[i] = s;
27         inq[s] = true;
28         for( int u=1; u<=n; u++ )
29             if( !inq[u] && c[s][u] ) dgr[u]++;
30     }
31 }
32 bool check() {
33     for( int i=n; i>=1; i-- ) {
34         int s=qu[i];
35         top = 0;
36         for( int j=i+1; j<=n; j++ )
37             if( c[s][qu[j]] ) stk[++top] = qu[j];
38         if( top==0 ) continue;
39         for( int j=2; j<=top; j++ )
40             if( !c[stk[1]][stk[j]] ) return false;
41     }
42     return true;
43 }
44 int main() {
45     scanf( "%d%d", &n, &m );
46     for( int i=1,u,v; i<=m; i++ ) {
47         scanf( "%d%d", &u, &v );
48         c[u][v] = c[v][u] = 1;
49     }
50     msc();
51     printf( "%s
", check() ? "Perfect" : "Imperfect" );
52 }
53

View Code

ZOJ:

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #include <queue>
 4 #include <vector>
 5 #define maxn 1010
 6 using namespace std;
 7 
 8 int n, m;
 9 vector<int> g[maxn];
10 bool connect[maxn][maxn];
11 
12 int id[maxn];
13 int label[maxn];
14 int seq[maxn];
15 
16 struct Stat {
17     int lab, u;
18     Stat( int lab, int u ) : lab(lab), u(u) {}
19     bool operator<( const Stat & b ) const { 
20         return lab<b.lab;
21     }
22 };
23 void mcs() {
24     priority_queue<Stat> pq;
25     memset( label, 0, sizeof(label) );
26     memset( id, 0, sizeof(id) );
27     for( int u=1; u<=n; u++ ) pq.push(Stat(0,u));
28 
29     for( int i=n; i>=1; i-- ) {
30         while( id[pq.top().u] ) pq.pop();
31         int u = pq.top().u;
32         pq.pop();
33         id[u] = i;
34         for( int t=0; t<g[u].size(); t++ ) {
35             int v = g[u][t];
36             if( !id[v] ) {
37                 label[v]++;
38                 pq.push( Stat(label[v],v) );
39             }
40         }
41     }
42     for( int u=1; u<=n; u++ ) 
43         seq[id[u]] = u;
44 }
45 
46 bool check() {
47     vector<int> c;
48     for( int i=1; i<=n; i++ ) {
49         int u = seq[i];
50         c.clear();
51         for( int t=0; t<g[u].size(); t++ ) {
52             int v = g[u][t];
53             if( id[v]>id[u] ) 
54                 c.push_back(v);
55         }
56         if( c.empty() ) continue;
57         int sc = c[0];
58         for( int t=1; t<c.size(); t++ ) 
59             if( id[c[t]]<id[sc] ) sc=c[t];
60         for( int t=0; t<c.size(); t++ ) {
61             int v = c[t];
62             if( v==sc ) continue;
63             if( !connect[sc][v] ) return false;
64         }
65     }
66     return true;
67 }
68 void init( int n ) {
69     memset( connect, false, sizeof(connect) );
70     for( int u=1; u<=n; u++ ) g[u].clear();
71 }
72 int main() {
73     while(1) {
74         scanf( "%d%d", &n, &m );
75         if( n==0 && m==0 ) return 0;
76         init(n);
77         for( int i=1,u,v; i<=m; i++ ) {
78             scanf( "%d%d", &u, &v );
79             connect[u][v] = connect[v][u] = true;
80             g[u].push_back(v);
81             g[v].push_back(u);
82         }
83         mcs();
84         printf( "%s

", check() ? "Perfect" : "Imperfect" );
85     }
86 }

View Code

暴力:每次找单纯点,删掉,再找,如果能删完就说明是.

O(n^4*...)

 1 #include <cstdio>
 2 #include <vector>
 3 #include <set>
 4 #define N 110
 5 #define foreach(it,s) for( typeof(s.begin()) it=s.begin(); it!=s.end(); it++ )
 6 using namespace std;
 7 
 8 int n, m;
 9 set<int> s;
10 set<int> g[N];
11 
12 bool find_erase() {
13     foreach( u, s ) {
14         vector<int> vc;
15         foreach( v, g[*u] ) 
16             vc.push_back(*v);
17         bool ok = true;
18         for( int a=0; a<vc.size() && ok; a++ ) 
19             for( int b=a+1; b<vc.size() && ok; b++ )
20                 if( g[vc[a]].count(vc[b])==0 ) 
21                     ok = false;
22         if( ok ) {
23             s.erase(*u);
24             for( int t=0; t<g[*u].size(); t++ )
25                 g[vc[t]].erase(*u);
26             return true;
27         }
28     }
29     return false;
30 }
31 int main() {
32     scanf( "%d%d", &n, &m );
33     for( int i=1; i<=n; i++ )
34         s.insert(i);
35     for( int i=1,u,v; i<=m; i++ ) {
36         scanf( "%d%d", &u, &v );
37         if( g[u].count(v) ) continue;
38         g[u].insert(v);
39         g[v].insert(u);
40     }
41     for( int t=1; t<=n; t++ ) {
42         if( !find_erase() ) {
43             printf( "Imperfect
" );
44             return 0;
45         }
46     }
47     printf( "Perfect
" );
48 }

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