最长公共子序列-LCS问题 (LCS与LIS在特殊条件下的转换) [洛谷1439]

题目描述

给出1-n的两个排列P1和P2，求它们的最长公共子序列。

输入

第一行是一个数n，

接下来两行，每行为n个数，为自然数1-n的一个排列。

输出

一个数，即最长公共子序列的长度

输入样例

5 
3 2 1 4 5
1 2 3 4 5

输出样例

说明

对于50%的数据，n≤1000

对于100%的数据，n≤100000

思路

常见的LCS问题是通过O(n²)的DP解决的，显然此题的数据是过不去的

如何想办法？

这里就要参考在特殊条件下LCS与LIS（最长上升序列）的转换

我们记录下第一个排列每一个数字出现的位置，即Hash[ ai ] = i

而这个序列再按第二个排列排序，即新型成的序列Seq[ i ] = Hash[ bi ]

这样做了以后发现有什么规律呢？

新的序列Seq是满足B排列的先后顺序单调递增的，而在Seq的Hash值是按A排列的先后顺序单调递增的

那么在Seq中找到的最长上升序列就是同时满足A序列和B序列的先后关系的一个子序列

这样就把LCS成功的转换成了LIS问题

我们知道LIS的问题是可以O(n log n) 的解决的，在此不作赘述。

那么我们前面提到的特殊条件是什么呢？

由于这里记录的是Hash值，所以不能有重复的数字。

代码

 1 #include<set>
 2 #include<map>
 3 #include<stack>
 4 #include<queue>
 5 #include<cstdio>
 6 #include<cstring>
 7 #include<iostream>
 8 #include<algorithm>
 9 #define RG register int
10 #define rep(i,a,b)    for(RG i=a;i<=b;i++)
11 #define per(i,a,b)    for(RG i=a;i>=b;i--)
12 #define ll long long
13 #define inf (1<<30)
14 #define maxn 100005
15 using namespace std;
16 int n,cnt;
17 int hash[maxn],seq[maxn],dp[maxn];
18 inline int read()
19 {
20     int x=0,f=1;char c=getchar();
21     while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
22     while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
23     return x*f;
24 }
25 
26 void solve()
27 {
28     int l,r,mx=0,mid,p;
29     rep(i,1,n)
30     {
31         l=1,r=mx,p=0;
32         while(l<=r)
33         {
34             mid=(l+r)>>1;
35             if(dp[mid]<=seq[i])    p=mid,l=mid+1;
36             else r=mid-1;
37         }
38         if(p==mx)    dp[++mx]=seq[i];
39         else dp[p+1]=min(dp[p+1],seq[i]);
40     }
41     cout<<mx;
42 }
43 
44 int main()
45 {
46     int tmp;
47     n=read();
48     rep(i,1,n) tmp=read(),hash[tmp]=i;
49     rep(i,1,n) tmp=read(),seq[++cnt]=hash[tmp];//如果两个序列的值有不相同的，请在逗号处加上 if(hash[tmp])，此题因为是排列所以不用加
50     solve();
51     return 0;
52 }

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