最小二乘法多项式曲线拟合

1、概念
最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的m个点,并不要求这条曲线精确地经过这些点，而是曲线y=f(x)的近似曲线y= φ(x)。
给定数据点pi(xi,yi)，其中i=1,2,…,m。求近似曲线y= φ(x)。并且使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。近似曲线在点pi处的偏差δi= φ(xi)-y，i=1,2,...,m。 

2、常见的曲线拟合方法:

     1.使偏差绝对值之和最小

    

     2.使最大偏差绝对值最小

    

   3.使偏差平方和最小

     


3、推导过程：

     1. 设拟合多项式为：

                

    2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：

            

        3. 为了求得符合条件的a值，对等式右边求ai偏导数，因而我们得到了：

                

          

                         .......

          


        4. 将等式左边进行一下化简，然后应该可以得到下面的等式：

          

          

                     .......

          

    5. 把这些等式表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：

          

        6. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:

          

     7. 也就是说X*A=Y，那么A = (X'*X)-1*X'*Y，便得到了系数矩阵A，同时，我们也就得到了拟合曲线。

4.实现
  1. # coding=utf-8
  3. '''
  4. 作者:Jairus Chan
  5. 程序:多项式曲线拟合算法
  6. '''
  7. import matplotlib.pyplot as plt
  8. import math
  9. import numpy
  10. import random
  12. fig = plt.figure()
  13. ax = fig.add_subplot(111)
  15. #阶数为9阶
  16. order=9
  18. #生成曲线上的各个点
  19. x = numpy.arange(-1,1,0.02)
  20. y = [((a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5)*numpy.sin(a*2) for a in x]
  21. #ax.plot(x,y,color='r',linestyle='-',marker='')
  22. #,label="(a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5"
  24. #生成的曲线上的各个点偏移一下，并放入到xa,ya中去
  25. i=0
  26. xa=[]
  27. ya=[]
  28. for xx in x:
  29. 	yy=y[i]
  30. 	d=float(random.randint(60,140))/100
  31. 	#ax.plot([xx*d],[yy*d],color='m',linestyle='',marker='.')
  32. 	i+=1
  33. 	xa.append(xx*d)
  34. 	ya.append(yy*d)
  36. '''for i in range(0,5):
  37. 	xx=float(random.randint(-100,100))/100
  38. 	yy=float(random.randint(-60,60))/100
  39. 	xa.append(xx)
  40. 	ya.append(yy)'''
  42. ax.plot(xa,ya,color='m',linestyle='',marker='.')
  45. #进行曲线拟合
  46. matA=[]
  47. for i in range(0,order+1):
  48. 	matA1=[]
  49. 	for j in range(0,order+1):
  50. 		tx=0.0
  51. 		for k in range(0,len(xa)):
  52. 			dx=1.0
  53. 			for l in range(0,j+i):
  54. 				dx=dx*xa[k]
  55. 			tx+=dx
  56. 		matA1.append(tx)
  57. 	matA.append(matA1)
  59. #print(len(xa))
  60. #print(matA[0][0])
  61. matA=numpy.array(matA)
  63. matB=[]
  64. for i in range(0,order+1):
  65. 	ty=0.0
  66. 	for k in range(0,len(xa)):
  67. 		dy=1.0
  68. 		for l in range(0,i):
  69. 			dy=dy*xa[k]
  70. 		ty+=ya[k]*dy
  71. 	matB.append(ty)
  72.  
  73. matB=numpy.array(matB)
  75. matAA=numpy.linalg.solve(matA,matB)
  77. #画出拟合后的曲线
  78. #print(matAA)
  79. xxa= numpy.arange(-1,1.06,0.01)
  80. yya=[]
  81. for i in range(0,len(xxa)):
  82. 	yy=0.0
  83. 	for j in range(0,order+1):
  84. 		dy=1.0
  85. 		for k in range(0,j):
  86. 			dy*=xxa[i]
  87. 		dy*=matAA[j]
  88. 		yy+=dy
  89. 	yya.append(yy)
  90. ax.plot(xxa,yya,color='g',linestyle='-',marker='')
  92. ax.legend()
  93. plt.show()




        





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原文地址：https://www.cnblogs.com/iathena/p/4d49486e708b0dcb62a81bf0a527511b.html