递归

前面深入介绍了如何创建和调用函数。你知道，函数可调用其他函数，但可能让你感到惊讶的是，函数还可调用自己。

如果你以前没有遇到这种情况，可能想知道递归是什么意思。简单地说，递归意味着引用（这里是调用）自身。下面是一个常见的递归定义（但必须承认，这种定义很愚蠢）：

递归[名词]：参见“递归”。

如果你在网上搜索“递归”，将看到类似的定义。

递归式定义引用了当前定义的术语。递归可能难以理解，也可能非常简单，这取决于你对它的熟悉程度。

一般而言，你不想要递归式定义，因为这毫无意义：你查找“递归”，它告诉你去查找“递归”，如此这般没完没了。下面是一个递归式函数定义：

def recursion():
    return recursion()

这个定义显然什么都没有做，与刚才的“递归”定义一样傻。如果你运行它，结果将如何呢？你将发现运行一段时间后，这个程序崩溃了（引发异常）。从理论上说，这个程序将不断运行下去，但每次调用函数时，都将消耗一些内存。因此函数调用次数达到一定的程度（且之前的函数调用未返回）后，将耗尽所有的内存空间，导致程序终止并显示错误消息“超过最大递归深度”。

这个函数中的递归称为无穷递归（就像以while True打头且不包含break和return语句的循环被称为无限循环一样），因为它从理论上说永远不会结束。

你想要的是能对你有所帮助的递归函数，这样的递归函数通常包含下面两部分。

基线条件（针对最小的问题）：满足这种条件时函数将直接返回一个值。
递归条件：包含一个或多个调用，这些调用旨在解决问题的一部分。

这里的关键是，通过将问题分解为较小的部分，可避免递归没完没了，因为问题终将被分解成基线条件可以解决的最小问题。

那么如何让函数调用自身呢？这没有看起来那么难懂。前面说过，每次调用函数时，都将为此创建一个新的命名空间。这意味着函数调用自身时，是两个不同的函数［更准确地说，是不同版本（即命名空间不同）的同一个函数］在交流。你可将此视为两个属于相同物种的动物在彼此交流。

两个经典案例：阶乘和幂

首先，假设你要计算数字n的阶乘。n的阶乘为n × (n - 1) × (n - 2) × … × 1，在数学领域的用途非常广泛。例如，计算将n个人排成一队有多少种方式。如何计算阶乘呢？可使用循环。

def factorial(n):
    result = n
    for i in range(1, n):
        result *= i
 return result

这种实现可行，而且直截了当。大致而言，它是这样做的：首先将result设置为n，再将其依次乘以1到n - 1的每个数字，最后返回result。但如果你愿意，可采取不同的做法。关键在于阶乘的数学定义，可表述如下。

1的阶乘为1。
对于大于1的数字n，其阶乘为n - 1的阶乘再乘以n。

如你所见，这个定义与本节开头的定义完全等价。

下面来考虑如何使用函数来实现这个定义。理解这个定义后，实现起来其实非常简单。

def factorial(n):
    if n == 1:
       return 1
    else:
       return n * factorial(n - 1)

再来看一个示例。假设你要计算幂，就像内置函数pow和运算符**所做的那样。要定义一个数字的整数次幂，有多种方式，但先来看一个简单的定义：power(x, n)（x的n次幂）是将数字x自乘n - 1次的结果，即将n个x相乘的结果。换而言之，power(2, 3)是2自乘两次的结果，即2 × 2 × 2 = 8。

这实现起来很容易。

>>> def power(x,n):
                result = x
                for i in range(1,n):
                        x *=result
                return x
>>> power(2,3)
8

这是一个非常简单的小型函数，但也可将定义修改成递归式的。

对于任何数字x，power(x, 0)都为1。
n>0时，power(x, n)为power(x, n-1)与x的乘积。

如你所见，这种定义提供的结果与更简单的迭代定义完全相同。理解定义是最难的，而实现起来很容易。

def power(x, n):
    if n == 0:
        return 1
    else:
        return x * power(x, n - 1)

我再次将定义从较为正规的文字描述转换成了编程语言（Python）。

提示　如果函数或算法复杂难懂，在实现前用自己的话进行明确的定义将大有裨益。以这种“准编程语言”编写的程序通常称为伪代码。

上面的递归完全是利用了它们的循环次数作用，结合if-else语句进行循环调用和结束调用。

另一个经典案例：二分查找

下面来看看最后一个递归示例——二分查找算法。

你可能熟悉猜心游戏。这个游戏要求猜对对方心里想的是什么，且整个猜测过程提出的“是否”问题不能超过20个。为充分利用每个问题，你力图让每个问题的答案将可能的范围减半。例如，如果你知道对方心里想的是一个人，可能问：“你心里想的是个女人吗？”除非你有很强的第六感，不然不会一开始就问：“你心里想的是John Cleese吗？”对喜欢数字的人来说，这个游戏的另一个版本是猜数。例如，对方心里想着一个1～100的数字，你必须猜出是哪个。当然，猜100次肯定猜对，但最少需要猜多少次呢？

实际上只需猜7次。首先问：“这个数字大于50吗？”如果答案是肯定的，再问：“这个数字大于75吗？”不断将可能的区间减半，直到猜对为止。你无需过多地思考就能成功。

这种策略适用于众多其他不同的情形。一个常见的问题是：指定的数字是否包含在已排序的序列中？如果包含，在什么位置？为解决这个问题，可采取同样的策略：“这个数字是否在序列中央的右边？”如果答案是否定的，再问：“它是否在序列的第二个四分之一区间内（左半部分的右边）？”依此类推。明确数字所处区间的上限和下限，并且每一个问题都将区间分成两半。

这里的关键是，这种算法自然而然地引出了递归式定义和实现。先来回顾一下定义，确保你知道该如何做。

如果上限和下限相同，就说明它们都指向数字所在的位置，因此将这个数字返回。
否则，找出区间的中间位置（上限和下限的平均值），再确定数字在左半部分还是右半部分。然后在继续在数字所在的那部分中查找。
在这个递归案例中，关键在于元素是经过排序的。找出中间的元素后，只需将其与要查找的数字进行比较即可。如果要查找的数字更大，肯定在右边；如果更小，它必然在左边。递归部分为“继续在数字所在的那部分中查找”，因为查找方式与定义所指定的完全相同。（请注意，这种查找算法返回数字应该在的位置。如果这个数字不在序列中，那么这个位置上的自然是另一个数字。）现在可以实现二分查找了。

def search(sequence, number, lower, upper):
    if lower == upper:
         assert number == sequence[upper]
         return upper
    else:
        middle = (lower + upper) // 2
        if number > sequence[middle]:
            return search(sequence, number, middle  
+ 1, upper)
        else:
            return search(sequence, number, lower, middle)

这些代码所做的与定义完全一致：如果lower == upper，就返回upper，即上限。请注意，你假设（断言）找到的确实是要找的数字（number == sequence[upper]）。如果还未达到基线条件，就找出中间位置，确定数字在它左边还是右边，再使用新的上限和下限递归地调用search。为方便调用，还可将上限和下限设置为可选的。为此，只需给参数lower和upper指定默认值，并在函数开头添加如下条件语句：

def search(sequence, number, lower=0, upper=None):
    if upper is None: upper = len(sequence) - 1
    ...

现在，如果你没有提供上限和下限，它们将分别设置为序列的第一个位置和最后一个位置。下面来看看这是否可行。

>>> seq = [34, 67, 8, 123, 4, 100, 95]
>>> seq.sort()
>>> seq
[4, 8, 34, 67, 95, 100, 123]
>>> search(seq, 34)
2
>>> search(seq, 100)
5

然而，为何要如此麻烦呢？首先，你可使用列表方法index来查找。其次，即便你要自己实现这种功能，也可创建一个循环，让它从序列开头开始迭代，直至找到指定的数字。

确实，使用index挺好，但使用简单循环可能效率低下。前面说过，要在100个数字中找到指定的数字，只需问7次；但使用循环时，在最糟的情况下需要问100次。你可能觉得“没什么大不了的”。但如果列表包含100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000个元素（对Python列表来说，这样的长度可能不现实），使用循环也将需要问这么多次，情况开始变得“很大”了。然而，如果使用二分查找，只需问117次。

效率非常高吧？

提示　实际上，模块bisect提供了标准的二分查找实现。

bisect模块包含两个主要函数，bisect和insort，两个函数都利用二分查找算法来在有序序列中查找或插入元素。

bisect默认作用和bisect_right相同, insort默认作用和insort_right相同.

在查找方面，python中有list.index()的方法，此方法简单，但是复杂度高，建议使用bisect.

>>> import bisect
>>> number = [1,2,5,3,5,7,4,8,9]
>>> number.sort()  #排序，因为为了直观看，在bisect内部会自动对列表进行排序，升序
>>> print(number)
[1,2,3,4,5,5,7,8,9]
>>> left = bisect,bisect_left(number , 3)  #返回3在列表在左边的位置，没有就返回应该插入的位置  
>>> print(left)
2

相关资料连接：https://blog.csdn.net/qq_41853758/article/details/83341655