poj2104 划分树区间K大在线无修改

博主sbit。。。。对于高级数据结构深感无力，然后这些东西在OI竟然烂大街了，不搞就整个人都不好了呢。

于是我勇猛的跳进了这个大坑

　　　　　　　　　　——sbit

区间K大的裸题，在线，无修改。

可以用归并树（(O(nlog^3n))），也可用划分树（(O(nlogn + mlogn))）。果断划分树。。。（以后再来看归并树。。。再来看。。。来看。。看。。）

划分树是个什么东西呢？为什么可以做区间k大呢？

想想平衡树做k大时是如何搞的，其实内在原理是一样的。

划分树分两个步骤：建树与询问。

1. 建树

　　划分树借鉴了快排的思想。划分树的每个节点保存了一个区间，以此区间为根节点，把区间分为左子树[left, mid]和右子树[mid + 1, right]的两个子树，保证左子树内的的值不大于根节点中中位数的值，右子树不小于之，且数值在子树中的顺序遵从在根节点中时的相对位置关系。关键之处在于，给每个数值记录一个to_left，表示从[left, i]中，被划分到左子树的值的数量，在查询中，这将起到至关的作用。对于没有相同取中位数值的元素时，只要比对大小关系来进行划分即可，但是，如果有相同取中位数值的元素时，如何处理这些元素呢？

　　method 1: 离散化。。简洁易懂，方便快捷。

　　method 2: 这个方法很巧妙，网上大多数代码（都是抄hh的，sbit也是的，羞耻play了）都使用了这个方法。参考资料1给出了详细的解释。

　　引用自参考资料1:

划分的时候还有一点需要处理：如果有多个数据相同怎么办呢？通过一种特殊的处理：尽量使左右两边平均分配相同的数。这个特殊处理是这样的：

在没分之前，先假设中位数左边的数据suppose都已经分到左边了，所以suppose=mid-left+1;然后如果真的分在左边，即if(tree[level][i]<sorted[mid])

suppose--；suppose就减一！到最后，如果suppos=1，则说明中位数左边的数都小于中位数，如果有等于中位数的，则suppose大于1。

最后分配的时候，把suppose个数，分到左边就可以了，剩下的分到右边！因为suppose的初值是mid-left+1,这样就能保证中位数左边和右边的数平衡了！

2. 询问

　　类似于平衡树求k大，利用上文求出来的to_left值，我们可以通过深入划分树的层级对k的值进行缩小，最后当区间长度等于1时，k等于1，答案只有一个——就是当前值啦！用纸画画就能明白了。

 1 #include <cstdio>
 2 #include <algorithm>
 3 using namespace std;
 4 const int maxn = 100000 + 10;
 5 int val[20][maxn], sorted[maxn], to_left[20][maxn];
 6 int n, m;
 7 void build_tree(int l, int r, int layer) {
 8     if(l == r) return ;
 9     int mid = (l + r) >> 1;
10     int suppose = mid - l + 1;
11     for(int i = l; i <= r; ++i)
12         if(val[layer][i] < sorted[mid])
13             --suppose;
14     int rec_l = l, rec_r = mid + 1;
15     for(int i = l; i <= r; ++i) {
16         if(i == l) {
17             to_left[layer][i] = 0;
18         } else {
19             to_left[layer][i] = to_left[layer][i - 1];
20         }
21         if(val[layer][i] < sorted[mid]) {
22             ++to_left[layer][i];
23             val[layer + 1][rec_l++] = val[layer][i];
24         } else if(val[layer][i] > sorted[mid]) {
25             val[layer + 1][rec_r++] = val[layer][i];
26         } else {
27             if(suppose != 0) {
28                 --suppose;
29                 ++to_left[layer][i];
30                 val[layer + 1][rec_l++] = val[layer][i];
31             } else {
32                 val[layer + 1][rec_r++] = val[layer][i];
33             }
34         }
35     }
36     build_tree(l, mid, layer + 1);
37     build_tree(mid + 1, r, layer + 1);
38 }
39 
40 int query(int l, int r, int layer, int ql, int qr, int kth) {
41     if(l == r) return val[layer][l];
42     int s, ss;
43     if(l == ql) {
44         s = 0;
45         ss = to_left[layer][qr];
46     } else {
47         s = to_left[layer][ql - 1];
48         ss = to_left[layer][qr] - s;
49     }
50     int mid = (l + r) >> 1;
51     if(kth <= ss) {
52         return query(l, mid, layer + 1, l + s, l + s + ss - 1, kth);
53     }
54     return query(mid + 1, r, layer + 1, mid + 1 + ql - s - l, mid + 1 + qr - l - s - ss, kth - ss);
55 }
56 
57 int main() {
58 #ifndef ONLINE_JUDGE
59     freopen("data.in", "r", stdin); freopen("data.out", "w", stdout);
60 #endif
61     scanf("%d%d", &n, &m);
62     for(int i = 1; i <= n; ++i) {
63         scanf("%d", &sorted[i]);
64         val[0][i] = sorted[i];
65     }
66     sort(sorted + 1, sorted + n + 1);
67     build_tree(1, n, 0);
68     while(m--) {
69         int l, r, k;
70         scanf("%d%d%d", &l, &r, &k);
71         printf("%d
", query(1, n, 0, l, r, k));
72     }
73     return 0;
74 }

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参考资料：

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