题目
分析:
根据定义,一棵二叉树 T存在节点p∈T,满足时,它是不平衡的。下图中每个节点的高度都被标记出来,高亮区域是一棵不平衡子树。
平衡子树暗示了一个事实,每棵子树也是一个子问题。
现在的问题是:按照什么顺序处理这些子问题?
方法一:从底至顶(提前阻断)
此方法为本题的最优解法,但“从底至顶”的思路不易第一时间想到。
思路是对二叉树做先序遍历,从底至顶返回子树最大高度,若判定某子树不是平衡树则 “剪枝” ,直接向上返回。
算法流程:
recur(root):
- 递归返回值:
- 当节点
root
左 / 右子树的高度差 < 2 :则返回以节点root
为根节点的子树的最大高度,即节点root
的左右子树中最大高度(代表此节点root的高度)加 1。(max(left, right) + 1
) - 当节点
root
左 / 右子树的高度差 ≥2 :则返回 -1 ,代表 此子树不是平衡树 。
- 当节点
- 递归终止条件:
- 当越过叶子节点时,返回高度 0;
- 当左(右)子树高度
left== -1
时,代表此子树的 左(右)子树 不是平衡树,因此直接返回 -1 ;
isBalanced(root)
:
- 返回值: 若
recur(root) != 1
,则说明此树平衡,返回 true; 否则返回 false 。
代码:
class Solution {
public boolean isBalanced(TreeNode root) {
return recur(root) != -1;
}
private int recur(TreeNode root) {
if (root == null) return 0;
int left = recur(root.left);
if(left == -1) return -1;
int right = recur(root.right);
if(right == -1) return -1;
return Math.abs(left - right) < 2 ? Math.max(left, right) + 1 : -1;
}
}
复杂度分析:
- 时间复杂度 O(N): N 为树的节点数;最差情况下,需要递归遍历树的所有节点。
- 空间复杂度 O(N): 最差情况下(树退化为链表时),系统递归需要使用 O(N)的栈空间。
从顶至底(暴力法)
此方法容易想到,但会产生大量重复计算,时间复杂度较高。
思路是构造一个获取当前节点最大深度的方法 depth(root)
,通过比较此子树的左右子树的最大高度差abs(depth(root.left) - depth(root.right))
,来判断此子树是否是二叉平衡树。若树的所有子树都平衡时,此树才平衡。
算法流程:
isBalanced(root)
:判断树 root
是否平衡
- 特例处理: 若树根节点
root
为空,则直接返回 true ; - 返回值:所有子树都需要满足平衡树性质,因此以下三者使用与逻辑
&&
连接;abs(self.depth(root.left) - self.depth(root.right)) <= 1
:判断 当前子树 是否是平衡树;self.isBalanced(root.left)
: 先序遍历递归,判断 当前子树的左子树 是否是平衡树;self.isBalanced(root.right)
: 先序遍历递归,判断 当前子树的右子树 是否是平衡树;
depth(root)
: 计算树 root
的最大高度
- 终止条件: 当
root
为空,即越过叶子节点,则返回高度 0 ; - 返回值: 返回左 / 右子树的最大高度加 1 。
代码
class Solution {
public boolean isBalanced(TreeNode root) {
if (root == null) return true;
return Math.abs(depth(root.left) - depth(root.right)) <= 1 && isBalanced(root.left) && isBalanced(root.right);
}
private int depth(TreeNode root) {
if (root == null) return 0;
return Math.max(depth(root.left), depth(root.right)) + 1;
}
}
复杂度分析:
- 时间复杂度 O(Nlog_2 N): 最差情况下,
isBalanced(root)
遍历树所有节点,占用 O(N) ;判断每个节点的最大高度depth(root)
需要遍历 各子树的所有节点 ,子树的节点数的复杂度为 O*(log2N) 。
Balanced(root)遍历树所有节点,占用 O(N) ;判断每个节点的最大高度
depth(root)` 需要遍历 各子树的所有节点 ,子树的节点数的复杂度为 O*(log2N) 。 - 空间复杂度 O(N): 最差情况下(树退化为链表时),系统递归需要使用 O(N)的栈空间。