#多项式定理
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#瓮模型Urn
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$n$个瓮里各有一个球，各个球不同，从中取出$k$个球，则有几种取法（$k$个球是有排列的）？
回忆：
case1:
每次取出后放回去，由乘法原理，每次取，都有$n$种情况, $n^k$
case2:
每次取出后不放回去，
$$egin{align*}n(n-1)(n-2) ext{...}(n-k) ag{1}end{align*}$$
case3:
不考虑排列，那就是组合。也就是说最终的$k$个球的排列数是$k!=kcdot (k-1)cdot (k-2) ext{...}2cdot 1$
这样就得到
$$egin{align*}frac{n(n-1)(n-2) ext{...}(n-k)}{k!}=frac{n!}{k!(n-k)!} ag{2}end{align*}$$
可以想想这个除号的意义。是用加法和乘法来理解，还是用减法来理解呢？
#二项式
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$$egin{align*}(a+b)^n=(a+b)(a+b) ext{...}(a+b) ag{3}end{align*}$$
$n$个$(a+b)$里取$k$个$a$, 这$k$就是$k$个$a$相乘的次数.
#有限重复元素的排列
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$n$个元素的排列数为
$$egin{align*}frac{n!}{n_1!n_2! ext{...}n_k!} ag{4}end{align*}$$
把$n$个元素分成$k$组，每组的元素相同，(所以叫有限重复)，但是不同的组间的元素是不同的，这些组的元素的个数分别记为
$$egin{align*}n_1,n_2, ext{...},n_k,left(n_1+n_2+ ext{...}+n_k=n ight)end{align*}$$
##证明
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#多项式公式
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$$egin{align*}left(x_1+x_2+ ext{...}+x_m ight)^n=sum _{k_1+k_2+ ext{...}+k_m=n} left(egin{array}{c} n k_1,k_2, ext{...},k_m end{array} ight)prod _{1leq tleq m} x_t^{ ext{kt}} ag{6}end{align*}$$
$$egin{align*}left(egin{array}{c} n k_1,k_2, ext{...},k_n end{array} ight)=frac{n!}{k_1!k_2! ext{...}k_m!} ag{7}end{align*}$$