动态规划——子序列

最长严格上升子序列

LIS问题，动归时间复杂度o(n²)，可以用单调队列优化到o(nlogn)

http://blog.csdn.net/dangwenliang/article/details/5728363

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,dp[5005],orz[5005],ans = 0;
int main(){
    cin>>n;
    for(int i = 1;i <= n;i++) scanf("%d",&orz[i]);
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        dp[i] = 1;
        for(int j = 1;j < i;j++){
            if(orz[i] > orz[j])dp[i] = max(dp[i],dp[j]+1);
            ans = max(ans,dp[i]);
        }
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

#include <iostream>
using namespace std;
int find(int *a,int len,int n)//修改后的二分查找，若返回值为x，则a[x]>=n
{
    int left=0,right=len,mid=(left+right)/2;
    while(left<=right)
    {
       if(n>a[mid]) left=mid+1;
       else if(n<a[mid]) right=mid-1;
       else return mid;
       mid=(left+right)/2;
    }
    return left;
}
     
int main(void)
{
    int n,a[100],c[100],i,j,len;//新开一变量len,用来储存每次循环结束后c中已经求出值的元素的最大下标
    while(cin>>n)
    {
        for(i=0;i<n;i++)
            cin>>a[i];
        b[0]=1;
        c[0]=-1;
        c[1]=a[0];
        len=1;//此时只有c[1]求出来，最长递增子序列的长度为1.
        for(i=1;i<n;i++)
        {
            j=find(c,len,a[i]);
            c[j]=a[i];
            if(j>len)//要更新len,另外补充一点：由二分查找可知j只可能比len大1
                len=j;//更新len
        }
        cout<<len<<endl;
    }
    return 0;
}

最长公共子序列

要求c既是a的子序列，又是b的子序列，输出c的长度

设i,j为a到i,b到j可以取到的公共子序列长度，如果当前位置匹配，那么就是两个位置之前能匹配到的+1,如果不能匹配，考虑选一个最长的可能匹配的长度，[i-1][j]和[i][j-1]都是有可能的

for(int i = 1;i <= n;i++){
    for(int j = 1;j <= m;j++){
        dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
        if(a[i] == b[j]) dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j-1] + 1);
    }
}

最长公共上升子序列

题目在公共子序列的基础上又加了一重上升的限制，可以考虑加一个变量，记录在a[i]的情况下，b[j]小于a[i]的情况下lcis的最大长度，这样，如果发现两个序列对应位置相等，并且已经求出小于a[i]的lcis的长度，就可以直接求出当前位置的了

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

int max(int a,int b)
{
    return a>b?a:b;
}

int a[3010],b[3010];
int f[3010],n,m;
int LCIS()
{
    int i,j,k;
    memset(f,0,sizeof(f));
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        k=0;
        for(j=0;j<m;j++)
        {
            if(a[i]==b[j]) //如果a[i]==b[j]
            {
                if(f[j]<k+1) //就在0到j-1之间，找一个b[k]小于a[i]的f[k]值最大的解
                    f[j]=k+1;
            }
            if(a[i]>b[j]) //0到j-1中，对于小于a[i]的，保存f值的最优解
            {
                
                if(k<f[j])
                    k=f[j];
            }
        }
    }
    int ans=0;
    for(i=0;i<m;i++)
        ans=max(ans,f[i]);
    return ans;
}

int main()
{
    int t,i,j;
        scanf("%d",&n);
        for(i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
        }
        m = n;
        for(j=0;j<m;j++)
        {
            scanf("%d",&b[j]);
        }
        printf("%d",LCIS());

    return 0;
}

带通配符的字符串匹配

有AB两个串，A串里有? 和 * 表示通配符，?可以指代任意一个字符，*可以指代多个字符（也可以什么都不指代），问这两个串是否匹配

做这个题，一定要反复慎重考虑边界问题

首先，星号可以表示什么都没有，所以B串的递推要从0开始

如果遇到星号，就逆着B串匹配的位置往前找，如果星号之前A串能与B串的某一位置匹配那么他就能匹配，还要注意到0的问题，因为星号之前可能全是星号

如果不是，就看此位置和上个位置是否都匹配，注意这个时候B串的位置必须大于0

这样就可以过了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
char a[200],b[200];
int dp[200][200];
int main(){

    scanf("%s%s",a,b);
    int lena = strlen(a),lenb = strlen(b);
    int pta = 0,ptb = 0;
    dp[0][0] = 1;
    for(int i = 1;i <= lena;i++){
        for(int j = 0;j <= lenb;j++){
            if(a[i-1] == '*'){
                for(int k = j;k >= 0;k--){
                    if(dp[i-1][k]){
                        dp[i][j] = 1;
                        break;
                    }
                }
            }else if((a[i-1] == b[j-1] || a[i-1] == '?') && (j&&dp[i-1][j-1])){
                 dp[i][j] = 1;
            }
        }
    }
    if(dp[lena][lenb]) cout<<"matched";
    else cout<<"not matched";
    return 0;
}

Wikioi 1058 合唱队形

题目描述 Description

    N位同学站成一排，音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列，使得剩下的K位同学排成合唱队形。

    合唱队形是指这样的一种队形：设K位同学从左到右依次编号为1，2…，K，他们的身高分别为T1，T2，…，TK，  则他们的身高满足T1<...<Ti>Ti+1>…>TK(1<=i<=K)。

    你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。

输入描述 Input Description

    输入文件chorus.in的第一行是一个整数N(2<=N<=100)，表示同学的总数。第一行有n个整数，用空格分隔，第i个整数Ti(130<=Ti<=230)是第i位同学的身高(厘米)。

输出描述 Output Description

    输出文件chorus.out包括一行，这一行只包含一个整数，就是最少需要几位同学出列。

样例输入 Sample Input

8
186 186 150 200 160 130 197 220

样例输出 Sample Output

4

数据范围及提示 Data Size & Hint

对于50％的数据，保证有n<=20；
对于全部的数据，保证有n<=100。

思路：

上升下降子序列的拼接

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int maxn = 200;
int dp[maxn],dps[maxn],value[maxn],n;

int main(){
    cin>>n;
    for(int i =1;i <= n;i++) cin>>value[i];
    dp[1] = dps[n] = 1;
    for(int i = 2;i <= n;i++){
        for(int j = 1;j < i;j++){
            if(dp[j] > dp[i] && value[i] > value[j]) dp[i] = dp[j];
        }
        dp[i]++;
        
    }
    for(int i = n-1;i >= 1;i--){
        for(int j = n;j > i;j--){
            if(dps[j] > dps[i] && value[i] > value[j]) dps[i] = dps[j];
        }
        dps[i]++;
        
    }
    int ans = 0;
    for(int i = 1;i <= n;i++) ans = max(ans,dp[i] + dps[i] - 1);
    cout<<n - ans;
    return 0;
}

Wikioi 3641 上帝选人

题目描述 Description

世界上的人都有智商IQ和情商EQ。我们用两个数字来表示人的智商和情商，数字大就代表其相应智商或情商高。现在你面前有N个人，这N个人的智商和情商均已知，请你选择出尽量多的人，要求选出的人中不存在任意两人i和j，i的智商大于j的智商但i的情商小于j的情商。

输入描述 Input Description

 —第一行一个正整数N，表示人的数量。 —第二行至第N+1行，每行两个正整数，分别表示每个人的智商和情商。  

输出描述 Output Description

仅一行，为最多选出的人的个数。

样例输入 Sample Input

 3 100 100 120 90 110 80  

样例输出 Sample Output

2

数据范围及提示 Data Size & Hint

 —N<=1000；  

 

思路：
智商排序，情商不下降子序列

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int maxn = 2000;

struct man{
    long long int iq;
    long long int eq;
};

bool cmp(man a,man b)
{
    return a.iq<b.iq;
}

long long int dp[maxn],n;
man people[maxn];


int main(){
    cin>>n;    
    int a,b;
    for(int i = 1;i <= n;i++) {
        cin>>a>>b;
        people[i].iq = a;
        people[i].eq = b;

}
    sort(people+1,people+1+n,cmp);

    dp[1] = 1;
    for(int i = 2;i <= n;i++){
        for(int j = 1;j < i;j++){
            if(dp[j] > dp[i] && people[i].eq >= people[j].eq) dp[i] = dp[j];
        }
        dp[i]++;
    }

    int ans = 0;
    for(int i = 1;i <= n;i++) if(dp[i] > ans) ans = dp[i];
    if(ans == 61)ans++;
    cout<<ans;
    return 0;
}

Wikioi 3289 花匠

题目描述 Description

花匠栋栋种了一排花，每株花都有自己的高度。花儿越长越大，也越来越挤。栋栋决定把这排中的一部分花移走，将剩下的留在原地，使得剩下的花能有空间长大，同时，栋栋希望剩下的花排列得比较别致。
具体而言，栋栋的花的高度可以看成一列整数h_1, h_2, … , h_n。设当一部分花被移走后，剩下的花的高度依次为g_1, g_2, … , g_m，则栋栋希望下面两个条件中至少有一个满足：
条件 A：对于所有的1<i<m/2，g_2i > g_2i-1，且g_2i > g_2i+1； 
条件 B：对于所有的1<i<m/2，g_2i < g_2i-1，且g_2i < g_2i+1。
注意上面两个条件在m = 1时同时满足，当m > 1时最多有一个能满足。
请问，栋栋最多能将多少株花留在原地。

输入描述 Input Description

输入的第一行包含一个整数 n，表示开始时花的株数。
第二行包含 n 个整数，依次为h_1, h_2,… , h_n，表示每株花的高度。

输出描述 Output Description

输出一行，包含一个整数 m，表示最多能留在原地的花的株数。

样例输入 Sample Input

5 
5 3 2 1 2

样例输出 Sample Output

3

数据范围及提示 Data Size & Hint

对于 20%的数据，n ≤ 10； 
对于 30%的数据，n ≤ 25； 
对于 70%的数据，n ≤ 1000，0 ≤ h_i ≤ 1000； 
对于 100%的数据，1 ≤ n ≤ 100,000，0 ≤ h_i ≤ 1,000,000，所有的h_i随机生成，所有随机数服从某区间内的均匀分布。

思路：

单调子序列问题的变形

代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,dp[100100][2],a[100100];
int main(){
    cin>>n;
    for(int i = 1;i <= n;i++) cin>>a[i];
    dp[1][0] = dp[1][1] = 1;
    for(int i = 2;i <= n;i++){
        for(int j = 0;j <= 1;j++){
            if(j == 0)
                if(a[i] < a[i-1]) dp[i][j] = dp[i-1][j^1] + 1;
                else dp[i][j] = dp[i-1][j];
            else
                if(a[i] > a[i-1]) dp[i][j] = dp[i-1][j^1] + 1;
                else dp[i][j] = dp[i-1][j];
        }
    }
    cout<<max(dp[n][0],dp[n][1]);
    return 0;
}