编程之美：小飞的电梯调度算法

一.问题描述　

　　亚洲微软研究院所在的希格玛大厦一共有6部电梯。在高峰时间，每层都有人上下，电梯每层都停。实习生小飞常常会被每层都停的电梯弄的很不耐烦，于是他提出了这样一个办法：由于楼层并不算太高，那么在繁忙的上下班时间，每次电梯从一层往上走时，我们只允许电梯停在其中的某一层。所有乘客从一楼上电梯，到达某层后，电梯停下来，所有乘客再从这里爬楼梯到自己的目的层。在一楼的时候，每个乘客选择自己的目的层，电梯则计算出应停的楼层。

　　问：电梯停在哪一层楼，能够保证这次乘坐电梯的所有乘客爬楼梯的层数之和最少？

二.算法描述　　

　　方法一：暴力枚举，时间复杂度O(N^2)

 1 /*
 2  * O(N^2)
 3  */
 4 const int N = 5;
 5 int num[N+1];
 6 int ans;
 7 int min = INT_MAX;
 8 
 9 for(i = 1;i<=N;i++)
10 {
11     int sum = 0;
12     for(j = 1;j<=N;j++)
13     {
14         sum += num[j] * abs(j - i);
15     }
16     if(sum < min)
17     {
18         min = sum;
19         ans = i;
20     }
21     return (ans);
22 }

　　方法二：书上提供的O(N)的动态规划的算法。

　　假设电梯停在i层楼，可以计算出所有乘客要爬楼层的层数为Y,假设此时有N1个乘客在i层楼以下，N2个乘客在I层楼，N3个乘客在I层楼以上，则当电梯停在i+1层的时候，N1+N2个乘客要多下一层楼，共多下N1+N2层，N3个乘客要少往上面爬一层楼，少上N3层楼，此时Y(i+1) = Y(i) + N1+N2-N3，很显然，当N1+N2<N3的时候，Y不断减小。Y1很容易算出来，另外我们还可以看出，N1+N2是递增的，N3是递减的，所以N1+N2一旦大于N3的时候，我们直接退出循环即可，没有必要再计算下去了。

 1 /*
 2   O(N)  dp
 3  */
 4 #include <iostream>
 5 #include <cstring>
 6 using namespace std;
 7   
 8 const int N = 5;
 9 int num[N+1];
10 
11 int solve()
12 {
13     int ans = 1;
14     int min = 0;
15     int N1 = 0,N2 = num[1],N3 = 0;
16     for(int i = 2;i<=N;i++)
17     {
18         //由于只要最小值即可，所以不必用数组保存；使用数组时不用知道N1+N2 < N3)就行 
19         min += num[i] * (i-1);
20         N3 +=num[i];
21     }
22     
23     for(int i = 2;i<=N;i++)
24     {
25         if(N1+N2 < N3)
26         {
27             ans = i;
28             min +=(N1+N2-N3);
29     
30             N1 +=N2;
31             N2 = num[i];
32             N3 -=num[i];
33         }
34         else
35             break;
36     }
37     return ans;
38 }
39 
40 int main()
41 {
42     int i,j,k;
43     num[1] = 6;
44     num[2] = 2;
45     num[3] = 4;
46     num[4] = 9;
47     num[5] = 8;
48     int ans = solve();
49     cout<<ans<<endl;
50     while(1);
51     return 0;
52 }
53

　　方法三：中位数

　　其实这道题目仔细分析起来就是求一组数据的中位数而已。假设两人，分别到3层楼和8层楼下，在3和8之间取一点，使得到两个点距离最小，很显然，在3和8中的每一点到3和8的距离之和都是相等的。推广到2 3

5 5 6 7 8 8 9这样一组数据，ans为中位数。

数组a存储下标，数组b存储相应人数，按b从小到大排序并交换a（或者用结构体），最后的中位数是不对的

 1 /*
 2  * mid_value
 3  */
 4  // 这种方法貌似是对的 
 5 #include <iostream>
 6 #include <cstring>
 7 using namespace std;
 8   
 9 const int N = 5;
10 int num[N+1];
11 
12 int solve()
13 {
14     int left = 1,right = N;
15     while(right-left >= 1)
16     {
17         while(num[left] == 0)left++;
18         num[left] --;
19         while(num[right] == 0)right--;
20         num[right] --;
21     }
22     return left;
23 }
24 
25 int main()
26 {
27     int i,j,k;
28     num[1] = 6;
29     num[2] = 2;
30     num[3] = 4;
31     num[4] = 9;
32     num[5] = 8;
33     int ans = solve();
34     cout<<ans<<endl;
35     while(1);
36     return 0;
37 }

三.结束语　

　　扩展问题:往上爬一层要耗费K个单位的能量，往下走耗费1个单位的能亮，只需要计算N1+N2-N3变成N1+N2-N3*K即可。其余的都是一样的。

　　扩展问题:2个有序数组求合并后的中位数，貌似是算法导论上的，有空再写……

　　你让我安心什么什么，说话却吞吞吐吐，岂非存心让我不安