【随机过程】随机过程之更新过程(2)

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说明：关于更新过程，内容也不少，但是核心的知识点也只有几个，通过一个主要的例子，将大部分重要的概念加以梳理，会是一个很好的理解的方法。

几个概念

与泊松过程一样，几个重要概念无外乎Xi，Sn，N(t)。Xi在泊松过程中是到达时间间隔（且服从指数为λ的指数分布），而在更新过程中是非负的独立同分布随机变量，相当于更新过程中一个个更新元件的寿命，而Sn是第n次更新发生的时刻，在泊松过程中是第n件事情到达时刻。最后N(t)表示的是到t时刻为止，已经发生的更新次数。

研究思路

已知Xi的分布，根据求和式，可以通过n重卷积得到Sn的概率分布，然后根据Sn与N(t)之间的关系，去计算N(t)的概率分布。而通常在更新理论中，人们常关心的是系统的平均更新次数M(t)=E(N(t))。从上面分析的，可以得到平均更新次数M(t)，被称之为更新函数。更新函数自然有自己的一些特性，比如更新函数与分布函数相互唯一确定。
下面引入了更新方程和更新定理。然后说更新函数M(t)也满足更新定理，这样就建立起了更新函数和分布函数之间的关系，这个关系就由更新方程决定。
后又引入停时的概念，所谓一个序列的停时（取值为正整数n），指的就是只与前n个序列有关，而与之后n+1等没有关系。主要是为了推出一个瓦尔德方程，说得是X1,...独立同分布，且期望有限，T是该序列的一个停时，且期望有限，那么满足一下公式：

E (Σ T n = 1 X T) = E T \times E X 1

据此推出了

SN(t)+1的期望与更新函数之间的关系如下：

E (S N (t) + 1) = E (X 1 + . . . + X N (t) + 1) = E X 1 E [N (t) + 1] = μ (M (t) + 1)

那么有初等更新定理：

μ = E X n ， 则 l i m t - > \infty M ( t ) t = 1 μ

定理表明：单位时间内期望更新次数等于平均更新时间的导数。

又提到格点分布，所谓格点分布，指的是X只存在一些周期nd的位置上，但并不是说所有的nd都一一取到。而最大的d被称为格点分布的周期。

Blackwell更新定理：μ=EXn，平均更新时间。
如果F不是格点分布，那么都有：

l i m t - > \infty M (t + a) - M (t) = a μ

如果F为周期为d的格点分布，那么都有：

l i m n - > \infty P (在 n d 处 发 生 的 更 新) = d μ

看看这个定理有何直观上的意义吧：
在远离原点的某长度为a的区间内，更新次数的期望为

aμ，即

1μ可视为长时间后更新过程发生的平均速率。当F为格点分布，由于更新只能发生在nd时刻，因此，更新次数的多少依赖于区间上形如nd的点的数目。

这样，结合更新方程，便有了关键更新定理，主要是说明更新方程的解的极限的取值情况。这里不想细说，因为并不是太懂。

一个具体的例子

【交替更新过程】一个系统，工作寿命为X1，发生故障后修理，修理时间为Y1，修复后工作寿命为X2，然后再次发生故障后的修理时间为Y2，…。假定Xn独立同分布F，Yn独立同分布G，相互独立，记H=F*G为X1+Y1的分布函数，且期望有限，H不是格点分布，则可以证明：当t趋于无穷大时，系统在t时工作的概率等于E[X1]/(E[X1]+E[Y1])，而系统在t时维修的概率为E[Y1]/(E[X1]+E[Y1])Y。
刚好写成关键更新定理，就能证明。

另一个例子：
元件的剩余寿命和年龄的极限分布。也可以通过关键更新定理加以证明。

这两个例子中的证明方法都采用了关键更新定理，而且是一个非常常用的技巧，就是先关于某次更新（一般为第一次更新或t时刻前最后一次更新）取条件，得到一个更新方程，再利用更新方程解的定理和关键更新定理。

更新过程的几个推广

上面所讲的那个交替更新过程；
延迟更新过程，指的是放宽对X1的要求，允许它服从别的分布，而X2…之后的独立同分布。主要用在再观察开始时第一个零件已经用了一段时间了，这个时候它的分布已经不再跟新的一样了。
更新回报过程主要跟复合泊松过程一样，想一下那个超市营业额的建模问题，主要是更新次数，以及每次更新都有一定的回报，或者是利润。更新回报定理说的是回报率以概率1趋向于ER1/EX1。
终止过程，非常返的更新过程。非常返在马尔科夫过程中会讲到。

2015-11-02 听课笔记张朋艺