import java.util.ArrayList; import java.util.Iterator; import java.util.LinkedList; import java.util.List; //圆圈中最后剩下的数字 //题目：0，1，2，……n-1,将这n个数排列成一个圆圈，从0开始，删除第m个数，最后一个剩下的数字是多少。 //思路1：我们首先可以把它当做一个环形链表。然后模拟一个环形链表。 /*思路2：根据数字的规律来求： * 分析2：找规律。首先定义最初的n个数字（0,1,…,n-1）中最后剩下的数字是关于n和m的方程为f(n,m)。 * 在这n个数字中，第一个被删除的数字是（m-1）%n，为简单起见记为k。 * 那么删除k之后的剩下n-1的数字为0,1,…,k-1,k+1,…,n-1，并且下一个开始计数的数字是k+1。 * 相当于在剩下的序列中，k+1排到最前面，从而形成序列k+1,…,n-1,0,…k-1。 * 该序列最后剩下的数字也应该是关于n和m的函数。 * 由于这个序列的规律和前面最初的序列不一样（最初的序列是从0开始的连续序列）， * 因此该函数不同于前面函数，记为f’(n-1,m)。 * 最初序列最后剩下的数字f(n,m)一定是剩下序列的最后剩下数字f’(n-1,m)，所以f(n,m)=f’(n-1,m)。 * 接下来我们把剩下的的这n-1个数字的序列k+1,…,n-1,0,…k-1作一个映射， * 映射的结果是形成一个从0到n-2的序列： k+1 -> 0 k+2 -> 1 … n-1 -> n-k-2 0 -> n-k-1 … k-1 -> n-2 把映射定义为p，则p(x)= (x-k-1)%n，即如果映射前的数字是x，则映射后的数字是(x-k-1)%n。 对应的逆映射是p-1(x)=(x+k+1)%n。由于映射之后的序列和最初的序列有同样的形式，都是从0开始的连续序列， 因此仍然可以用函数f来表示，记为f(n-1,m)。根据我们的映射规则， 映射之前的序列最后剩下的数字f’(n-1,m)= p-1 [f(n-1,m)]=[f(n-1,m)+k+1]%n。 把k=m%n-1代入得到f(n,m)=f’(n-1,m)=[f(n-1,m)+m]%n。 经过上面复杂的分析，我们终于找到一个递归的公式。 要得到n个数字的序列的最后剩下的数字，只需要得到n-1个数字的序列的最后剩下的数字，并可以依此类推。 当n=1时，也就是序列中开始只有一个数字0，那么很显然最后剩下的数字就是0。我们把这种关系表示为： 0 n=1 f(n,m)={ [f(n-1,m)+m]%n n>1 尽管得到这个公式的分析过程非常复杂，但它用递归或者循环都很容易实现。 最重要的是，这是一种时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)的方法， 因此无论在时间上还是空间上都优于前面的思路。*/ public class RemainLasting { //约瑟夫环问题，时间复杂度为O（mn）,空间复杂度为O（n） public void deleteMLast(int n,int m){ if(m<1||n<1) return; List<Integer> list=new ArrayList<Integer>(); for(int i=0;i<n;i++) list.add(i); //从第K个开始计数 int k=0; int last=0; while(list.size()>0){ k=k+m;//表示第k个数 k=k%list.size()-1;//表示第K个数的下标 //判断K是否为最后一个数 if(k<0){ last=list.get(list.size()-1); list.remove(list.size()-1); k=0; } else{ last=list.get(k); list.remove(k); } } System.out.println(last); } //时间复杂度为O（n），空间复杂度为O（1） public void lastRemaining(int n,int m){ if(m<1||n<1) return ; int last=0; for(int i=2;i<=n;i++){ last=(last+m)%i; } System.out.println(last); } public static void main(String[] args){ RemainLasting rl=new RemainLasting(); int n=5,m=3; rl.lastRemaining(n, m); rl.deleteMLast(n, m); } }