向量空间、赋范空间、内积空间、欧式空间、希尔伯特空间

从数学的本质来看，最基本的集合有两类：线性空间（有线性结构的集合）、度量空间（有度量结构的集合）。线性空间与度量空间是两个不同的概念，没有交集。

一、线性空间

1. 线性空间的定义

定义：设V是一个非空集合，F为数域。如果对于任意两个元素α、β∈V，总有唯一的一个元素γ∈V与之对应，称为α与β的和，记作

　　　　　　　　　　　　　　　　γ=α+β

如果对于任意一个数λ∈F与任意一元素α∈V，总有一个唯一的一个元素δ∈V与之对应，称为λ与α的数量乘积，记作

　　　　　　　　　　　　　　　　δ=λα

如果上述两种运算满足以下八条运算规律，那么V就称为数域F上的线性空间

加法运算：

① 交换律：α+β = β+α

② 结合律： (α+β）+γ = α+（β+γ）

③ 零元素（唯一）：存在0∈V，对任意α∈V，使α+0=α

④ 负元素（唯一）：对任意α∈V，存在β∈V，使α+β=0

乘法运算：

⑤ 1α = α

⑥ (λμ)α = λ(μα)

⑦ (λ+μ)α = λα+μα

⑧ λ(α+β) = λα+λβ

2. 数域

定义：设F是数的集合，若其满足

① 0，1∈F

② 对F中的任意两个数a，b，总有a+b，a-b，a×b，a÷b(b≠0)∈F

则称F是一个数域，同时称F对加减乘除四种运算封闭

3. 线性空间的性质

① 零元素是唯一的；

② 负元素是唯一的；

③ 若λα = 0(λ∈F,α∈V)，则有k=0或λ=0

④ (-λ)α = λ(-α) = -(λα)

4. 小结

只有满足以下条件，才能构成线性空间

① 数集F是一个数域；

② 集合V满足加法和乘法运算的八条规律

二、由距离到希尔伯特空间

1. 距离和度量空间

实际上距离除了我们经常用到的直线距离外，还有向量距离 $\sqrt{Σ_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot y_{i}}$ $\sqrt{Σ_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot y_{i}}$

$\sqrt{Σ_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot y_{i}}$

$\sqrt{Σ_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot y_{i}}$

$\sqrt{Σ_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot y_{i}}$ $\sqrt{Σ_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot y_{i}}$ $\sqrt{Σ_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot y_{i}}$ $\sqrt{Σ_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot y_{i}}$

$\sqrt{Σ_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot y_{i}}$ $\sqrt{Σ_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot y_{i}}$ $\sqrt{Σ_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot y_{i}}$

$\sqrt{Σ_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot y_{i}}$ $\sqrt{Σ_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot y_{i}}$ $\sqrt{Σ_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot y_{i}}$ $\sqrt{Σ_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot y_{i}}$ $\sqrt{Σ_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot y_{i}}$ $\sqrt{Σ_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot y_{i}}$