poj 1637(混合图求欧拉回路)

参考博客：http://www.cnblogs.com/destinydesigner/archive/2009/09/28/1575674.html

1 定义

欧拉通路 (Euler tour)——通过图中每条边一次且仅一次，并且过每一顶点的通路。
欧拉回路 (Euler circuit)——通过图中每条边一次且仅一次，并且过每一顶点的回路。
欧拉图——存在欧拉回路的图。

2 无向图是否具有欧拉通路或回路的判定

G有欧拉通路的充分必要条件为：G 连通，G中只有两个奇度顶点(它们分别是欧拉通路的两个端点)。
G有欧拉回路(G为欧拉图)：G连通，G中均为偶度顶点。

3 有向图是否具有欧拉通路或回路的判定

D有欧拉通路：D连通，除两个顶点外，其余顶点的入度均等于出度，这两个特殊的顶点中，一个顶点的入度比出度大1，另一个顶点的入度比出度小1。
D有欧拉回路(D为欧拉图)：D连通，D中所有顶点的入度等于出度。

4 混合图。混合图也就是无向图与有向图的混合，即图中的边既有有向边也有无向边。

5 混合图欧拉回路

混合图欧拉回路用的是网络流。
把该图的无向边随便定向，计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数，那么肯定不存在欧拉回路。因为欧拉回路要求每点入度 = 出度，也就是总度数为偶数，存在奇数度点必不能有欧拉回路。
现在每个点入度和出度之差均为偶数。将这个偶数除以2，得x。即是说，对于每一个点，只要将x条边反向（入>出就是变入，出>入就是变出），就能保证出 = 入。如果每个点都是出 = 入，那么很明显，该图就存在欧拉回路。
现在的问题就变成了：该改变哪些边，可以让每个点出 = 入？构造网络流模型。有向边不能改变方向，直接删掉。开始已定向的无向边，定的是什么向，就把网络构建成什么样，边长容量上限1。另新建s和t。对于入 > 出的点u，连接边(u, t)、容量为x，对于出 > 入的点v，连接边(s, v)，容量为x（注意对不同的点x不同。当初由于不小心，在这里错了好几次）。之后，察看是否有满流的分配。有就是能有欧拉回路，没有就是没有。查看流值分配，将所有流量非 0（上限是1，流值不是0就是1）的边反向，就能得到每点入度 = 出度的欧拉图。
由于是满流，所以每个入 > 出的点，都有x条边进来，将这些进来的边反向，OK，入 = 出了。对于出 > 入的点亦然。那么，没和s、t连接的点怎么办？和s连接的条件是出 > 入，和t连接的条件是入 > 出，那么这个既没和s也没和t连接的点，自然早在开始就已经满足入 = 出了。那么在网络流过程中，这些点属于“中间点”。我们知道中间点流量不允许有累积的，这样，进去多少就出来多少，反向之后，自然仍保持平衡。
所以，就这样，混合图欧拉回路问题，解了。

View Code

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<cmath>
 6 #include<queue>
 7 using namespace std;
 8 #define N 202
 9 #define M 5005
10 #define inf 0x3f3f3f3f
11 queue<int> q;
12 struct edge{
13     int to,next,c,f;
14 }e[M];
15 int pre[N],level[N],in[N];
16 int T,S,cnt;
17 void addedge(int u,int v,int c){
18     e[cnt].f=0,e[cnt].to=v,e[cnt].c=c,e[cnt].next=pre[u],pre[u]=cnt++;
19     e[cnt].f=0,e[cnt].to=u,e[cnt].c=0,e[cnt].next=pre[v],pre[v]=cnt++;
20 }
21 bool dinic_bfs(){
22     memset(level,0,sizeof(level));
23     q.push(S);
24     level[S]=1;
25     while(!q.empty()){
26         int u=q.front();q.pop();
27         for(int edg=pre[u];edg!=0;edg=e[edg].next){
28             int v=e[edg].to;
29             if(!level[v]&&e[edg].c>e[edg].f){
30                 level[v]=level[u]+1;
31                 q.push(v);
32             }
33         }
34     }
35     return level[T]!=0;
36 }
37 int dinic_dfs(int u,int cp){
38     int tmp=cp;
39     if(T==u)return cp;
40     for(int edg=pre[u];edg!=0&&tmp;edg=e[edg].next){
41         int v=e[edg].to;
42         if(level[v]==level[u]+1&&e[edg].c>e[edg].f){
43             int t=dinic_dfs(v,min(tmp,e[edg].c-e[edg].f));
44             e[edg].f+=t;
45             e[edg^1].f-=t;
46             tmp-=t;
47         }
48     }
49     return cp-tmp;
50 }
51 bool dinic(int s){
52     int tf=0,f=0;
53     while(dinic_bfs()){
54         while(f=dinic_dfs(S,inf)){
55             tf+=f;
56         }
57     }
58 
59     return tf==s;
60 }
61 int main(){
62     int ca;
63     scanf("%d",&ca);
64     while(ca--){
65         int m,s,flag=1;
66         memset(pre,0,sizeof(pre));
67         memset(in,0,sizeof(in));
68         scanf("%d%d",&m,&s);S=0;
69         T=m+1;cnt=2;
70         while(s--){
71             int u,v,c;
72             scanf("%d%d%d",&u,&v,&c);
73             in[u]--;in[v]++;
74             if(!c)addedge(u,v,1);
75         }
76         for(int i=1;i<=m;i++)
77         {
78             if(in[i]&1)flag=0;
79         }
80         int sum=0;
81         if(flag){
82             for(int i=1;i<=m;i++){
83                 if(in[i]>0){addedge(i,T,in[i]>>1);sum+=in[i]>>1;}
84                 if(in[i]<0)addedge(S,i,(-in[i])>>1);
85             }
86         }
87         if(!dinic(sum))flag=0;
88         if(!flag)printf("impossible\n");
89         else printf("possible\n");
90     }
91     return 0;
92 }